Bevis at for en bevægelse....

Benyt, at

v'(t) = a

hvor a er den konstante acceleration.

Middelhastigheden i et tidsinterval [t₁;t₂] er

<v>(t₁,t₂) = (1/(t₂-t₁)) · _t1∫^t2 v(t) dt

Ved konstant acceleration, får du en hastighedsrampe ( lineær ).

Ved integralet af denne rampefunktion i et tidsinterval, finder du tilbagelagt vejstrækning i tidintervallet. Dividerer du vejstækning med længden at tidsintervalltet, finder du middelhastigheden.

Så hvis du nu tegner rampen som:     /      finder du ved integrationen arealet af en trekant ( vejstrækningen ), der har arealet:

   ½*højde*grundlinie.   Grundlinie = tidsinterval.

Så gennemsnitshastighed = ½*højde af rampen.

Så hvis jeg skal bevise at for en bevægelse med konstant acceleration  gælder, at middelhastigheden i et tidsinterval er lig med momentanhastigheden i midtpunktet af tidsintervallet, skal jeg bare gøre følgende som det eneste? 

Jeg har vedhæftet et screenshot af mit word dokument, da formlerne ikke kunne koperes med over. 

#3

Eftersom accelerationen er konstant, og v'(t) = a, har man

v(t) = at + v₀ ,

hvor v₀ er hastigheden til tiden t = 0 . Middelhastigheden over intervallet [t₁;t₂] er så

<v>(t₁,t₂) = (1/(t₂-t₁)) · _t1∫^t2 v(t) dt = (1/(t₂-t₁)) · _t1∫^t2 (at + v₀) dt

                                                 = (1/(t₂-t₁)) · ((1/2)a(t₂² - t₁²) + v₀·(t₂ - t₁))

                                                 = (1/2)a·(t₁ + t₂) + v₀

                                                 = a·(t₁+t₂)/2 + v0

                                                 = v((t₁+t₂)/2)                                               

Er dette så et fyldestgørende bevis? 

#5

Hvad mener du, at der mangler?

Er det her så korrekt  ? Se vedhæftede billede

Så jeg skal ikke have alt det ovenstående med fra forrige billede i mit #3 

#8

Næh, hvad beviser det?

Ingenting. God pointe. Mange tak for hjælpen :)

Min lærer kommentar til beviset var ''du skal så forklare hvorfor det egentlig er middelhastigheden i intervallet t1 til t2 du finder.
Du mangler også lidt mellemregninger synes jeg.'' 

Kunne du hjælpe mig med at forklare hvorfor det egentligt er middelhastigheden i intervallet t1 til t2 jeg vil finde ? :)

#11

Udtrykket for middelhastigheden er defineret i #1. Du må selv fylde flere mellemregninger på, hvis du ikke kan følge udregningerne i #4.