Kæderegel

Et meget simpelt eksempel er vel, hvor f(x,y) = ax + by + c, x(t) = t, y(t) = t . Så er

f(t) = f(x(t),y(t)) = at + bt + c = (a+b)t + c .

df/dt = ∂f/∂x dx/dt + ∂f/∂y dy/dt = a·1 + b·1 = a+b

#1-2

Tak for det.

I eksempel #2 får jeg:

f(t) = f(x(t),y(t)) = 2cos(3t-4) + 5(sin(3t-4))²

df/dt = ∂f/∂x dx/dt + ∂f/∂y dy/dt = - 6sin(3t - 4) + 30ycos(3t-4)

Hvor går det galt?

#3

Man får så

df/dt = ∂f/∂x dx/dt + ∂f/∂y dy/dt = 2·(-3)·sin(3t-4) + 10·sin(3t-4)·3·cos(3t-4)

hvilket man også får ved direkte at differentiere f(t) = f(x(t),y(t)) = 2cos(3t-4) + 5(sin(3t-4))² .

#4

Ah, det er jo rigtigt det jeg har fået lavet. Man skulle så til sidst indsætte værdien for y(t) = sin(3t-4).

Hvad hvis x og y ikke afhang af en variabel, så ville man få:

df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy

Kan man bruge det til noget?

#5

Det er en differentialform, som på en måde blot er en anden skriveform for kædereglen. Skrevet med små tilvækster i stedet for differentialer har man

Δf ≈ ∂f/∂x Δx + ∂f/∂y Δy

#6

Ja, okay. Giver god mening, men hvordan kan du ændre dx og dy til Δx og Δy uden at ændre på de partielle differentiationer?

#7

Det forstår jeg ikke, hvad du mener. Udtrykket er en 1.-ordens Taylorudvikling.

#8

Hvis du ændrer df til Δf, får du så ikke: Δf = Δf/Δx Δx + Δf/Δy Δy?

#9

Nej, de afledede ændres da ikke.

#10

Hvorfor ikke?

I min udledning kom jeg frem til, at:

Δf = (f(x+Δx,y) - f(x,y)) + (f(x+Δx,y+Δy) - f(x+Δx,y))

⇔

Δf = (f(x+Δx,y) - f(x,y))/Δx · Δx + (f(x+Δx,y+Δy) - f(x+Δx,y))/Δy · Δy

Hvordan går jeg herfra til de afledede?