Matematik

Absolut maksimum og minimumværdi

08. december 2005 af Jensus (Slettet)

Jeg skal bestemme absolut maks og min værdi for funktionen f(x,y) = 1 + xy – x –y, der afgrænses af området D, hvor y = x^2 og y = 4.

Jeg angriber opgaven ved at forsøge at bestemme kritiske punkter, men den går ikke da de partielt afledte begge er lig –1 og jeg dermed ikke kan bestemme nogle variable ved at sætte dem lig 0.

Dernæst kaster jeg mig over ”ekstrem værdierne” (hedder extreme values noget andet på dansk?). Men her bliver jeg forvirret. Jeg har bestemt D ={(x,y)| -2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4}.

Hvad gør jeg herfra?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. december 2005 af fixer (Slettet)

Først kunne du jo erstatte de kryptiske tegn i mængdebyggeren med sædvanlige "=<" eller "<" tegn.

Maksimum og minimum skal søges blandt de stationære punkter, værdierne på randen eller i de punkter, hvori f ikke har partielle afledede.

Ved bestemmelsen af de stationære punkter er vi interesseret i de punkter, hvori de partielle afledede antager værdien 0.

Du har ikke ret at at de partielle afledede er -1. [Hint: Hvad har du gjort ved leddet xy?]

Svar #2
08. december 2005 af Jensus (Slettet)

De kryptiske tegn så ikke så kryptiske ud, da jeg oprettede indlægget. Jeg var ikke opmærksom på at specieltsymboler ikke kan vises.

Jeg er ikke med på dit hint. xy må blive henholdsvis x og y ved differentation af ledet? Dvs. jeg får fx = y -1 - y og fy = x -x -1

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. december 2005 af fixer (Slettet)

#3
Aha, så mit hint skulle have været: Hvad har du gjort med x henholdsvis y.

Med

f(x,y)=1+xy-x-y

må

f_x(x) = y-1

f_y(x) = x-1

Svar #4
08. december 2005 af Jensus (Slettet)

Hvordan kommer du frem til det? Så vi har altså et enkelt kritisk punkt, f(1,1). Men hvad med de såkaldte ekstrem værdier? Jeg prøver at følge et eksempel i min lærebog, men jeg synes ikke det er så ligetil.

Svar #5
08. december 2005 af Jensus (Slettet)

Nu har jeg den vidst:

f(x,4) = 3x - 3 -2 =< x =< 2 =>
min = f(-2,4) = -9
max = f(2,4) = 3

f(x,x^2) = 1 + x^3 - x - x^2 -2 =< x =< 2 =>
min = f(-2,4) = -9
max = f(2,4) = 3

Derfor må maks. være f(2,4) og min. (-2,4)

Tager jeg fejl?

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. december 2005 af fixer (Slettet)

Ved differentiation mht x kan vi opfatte y som værende konstant og vice versa. Så får man umiddelbart de afledede angivet i #3.

Som nævnt tidligere skal du undersøge f i de stationære punkter (er nu bestemt), på randen af D og i de punkter, hvori f ikke har partielle afledede i D. Imidlertid har f partielle afledede i hele R^2 og derfor også i D.

Det fremgår af #0 ikke klart hvorledes D er fastlagt. Er det mængden af punkter begrænset af linierne med ligningerne x=0, y=4 og grafen for funktionen y=x^2 ?

Det resterer blot at bestemme værdien af f i det stationære punkt og på randen af D.

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2005 af fixer (Slettet)

Funktionsværdien i det stationære punkt:

f(1,1) = 0

Under antagelse af, at mængden D er givet ved

D = {(x,y)E RxR|-2=<x=<2 /\\ y =< x^2}

finder vi på randen af D:

f(x,4) = 1+4x-x-4 = 3x-3

som i intervallet [-2,2] antager minimumsværdien -9 og maksimumsværdien 3.

f(x,x^2) = 1+x^3-x-x^2

som i intervallet [-2,2] antager minimumsværdien -9 og maksimumsværdien 3.

Maksimum- og minimumsværdien for f er derfor henholdvis 3 og -9.

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. december 2005 af fixer (Slettet)

Korrektion:

D = {(x,y)E RxR|-2=<x=<2 /\\ x^2 =< y =< 4}

Skriv et svar til: Absolut maksimum og minimumværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.