Matematik
tredjegradsligning
19. marts 2006 af
jgthb (Slettet)
I går var der en, som spurgte om følgende:
P(x)=x^3+2x^2+5x+8
gør rede for at der findes 2 rødder
Jeg kom selv med løsningsforslag, men det var forkert, har jeg fundet ud af herefter.
Forslaget var dette (rettet en smule):
et umiddelbart gæt: hvis der er to løsninger, må den kunne skrives på formen:
(x-a)(x-a)(x-b)=0, hvor a og b er de to rødder. hvis du omskriver dette udtryk, får du det på formen:
x^3+qx^2+rx+s=0, hvor q, r og s er udtrykt ved a og b. Du kan da sætte udtrykkene for q, r og s lig med de tilsvarende konstanter, vi har i det oprindelige udtryk. Da haves altså tre ligninger med to ubekendte.
Problemet er, at a og b bliver komplekse, hvilket jo naturligvis ikke kan være meningen, da det var en gymnasieopgave fra et opgavesæt.
Er der nogen andre, som har et løsningsforslag?
P(x)=x^3+2x^2+5x+8
gør rede for at der findes 2 rødder
Jeg kom selv med løsningsforslag, men det var forkert, har jeg fundet ud af herefter.
Forslaget var dette (rettet en smule):
et umiddelbart gæt: hvis der er to løsninger, må den kunne skrives på formen:
(x-a)(x-a)(x-b)=0, hvor a og b er de to rødder. hvis du omskriver dette udtryk, får du det på formen:
x^3+qx^2+rx+s=0, hvor q, r og s er udtrykt ved a og b. Du kan da sætte udtrykkene for q, r og s lig med de tilsvarende konstanter, vi har i det oprindelige udtryk. Da haves altså tre ligninger med to ubekendte.
Problemet er, at a og b bliver komplekse, hvilket jo naturligvis ikke kan være meningen, da det var en gymnasieopgave fra et opgavesæt.
Er der nogen andre, som har et løsningsforslag?
Svar #1
19. marts 2006 af 2835 (Slettet)
du skal lave en funktionsundersøgelse med f' o.l..
::2835::
http://www.gym-opg.webbyen.dk
::2835::
http://www.gym-opg.webbyen.dk
Svar #2
08. januar 2008 af charlie og buffy (Slettet)
svar til løsning af y^3 + 2 y^2 + 5 y + 8 = 0
y^3 + P y^2 + q y + R = 0
Dette kan reduseres til x^3 + a x + b = 0
ved at sætte a = (1/3)(3q-p^2)
ved at sætte b = (1/27)(2p^3-9pq+27R)
a=(1/3)(3*5-2^2)=11/3=3,666666666666
b=(1/27)2*2^3-9*2*5+27*8)=142/27=5,259259259
x^3 + 3,6666666666 x + 5,259259259 = 0
x^3 + a x + b = o
m = 2 (a/3)^(1/2) = 2,211083193
sinh(3v) = -(3b/(am) = -1,946118679
v = (1/3 arcsinh (-1,946118679) = -0,473092014
sinh v = sinh (-0,473092014) = - 0,490938158
x1 = m sinh v = 2,211083193 * (-0,490938158) = -1,08550511
y1 = x1 - (p/3) = -1,08550511-(2/3) = - 1,752171777 er ca. -1,7522
----------------
y^3 + 2 y^2 + 5y + 8 = 0
y+1,7522 )y^2
y^3 + 1,7522y^2
0,2478y^2
y+1,7522 )0,2478y
0,2478y^2 + 0,43419516y
4,56580484y
1,7522 )4,56580484
4,56580484 + 8,00020 ok. for 8
y^2 + 0,2478y + 4,56580484 = 0
y = - 0,1239 + og - ( 0,1239^2 - 4,56580484 )^(1/2)
y = - 0,1239 + i 2,13318
y = - 0,1239 - i 2,13318
y^3 + P y^2 + q y + R = 0
Dette kan reduseres til x^3 + a x + b = 0
ved at sætte a = (1/3)(3q-p^2)
ved at sætte b = (1/27)(2p^3-9pq+27R)
a=(1/3)(3*5-2^2)=11/3=3,666666666666
b=(1/27)2*2^3-9*2*5+27*8)=142/27=5,259259259
x^3 + 3,6666666666 x + 5,259259259 = 0
x^3 + a x + b = o
m = 2 (a/3)^(1/2) = 2,211083193
sinh(3v) = -(3b/(am) = -1,946118679
v = (1/3 arcsinh (-1,946118679) = -0,473092014
sinh v = sinh (-0,473092014) = - 0,490938158
x1 = m sinh v = 2,211083193 * (-0,490938158) = -1,08550511
y1 = x1 - (p/3) = -1,08550511-(2/3) = - 1,752171777 er ca. -1,7522
----------------
y^3 + 2 y^2 + 5y + 8 = 0
y+1,7522 )y^2
y^3 + 1,7522y^2
0,2478y^2
y+1,7522 )0,2478y
0,2478y^2 + 0,43419516y
4,56580484y
1,7522 )4,56580484
4,56580484 + 8,00020 ok. for 8
y^2 + 0,2478y + 4,56580484 = 0
y = - 0,1239 + og - ( 0,1239^2 - 4,56580484 )^(1/2)
y = - 0,1239 + i 2,13318
y = - 0,1239 - i 2,13318
Svar #3
08. januar 2008 af Dominik Hasek (Slettet)
#0:
Polynomiet
P(x) = x³+2x²+5x+8
har 3 rødder (jævnfør algebraens fundamentalsætning), hvoraf én er reel og to er komplekse. Dette følger meget nemt af, at dP/dx ikke har nogen reelle rødder (overvej!).
Polynomiet
P(x) = x³+2x²+5x+8
har 3 rødder (jævnfør algebraens fundamentalsætning), hvoraf én er reel og to er komplekse. Dette følger meget nemt af, at dP/dx ikke har nogen reelle rødder (overvej!).
Skriv et svar til: tredjegradsligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.