sandsynlighedsfordeling

ss for 3 plat er 1/2*1/2*1/2 = 1/8
ss for 0 plat er 1/2*1/2*1/2 = 1/8

ss for 1 plat er 3*1/2*1/2*1/2 = 3/8

Det sidste udtryk er ganget med 3, da der er tre muligheder for i hvilket kast plat kommer

ss for 2 plat er 3*1/2*1/2*1/2 = 3/8

Det sidste udtryk er ganget med 3, da der er tre muligheder for i hvilket kast krone kommer

At finde sandsynlighedsfordelingen betyder at du skal finde sandsynligheden for hvert af de mulige udfald der er for din stokastiske variabel X.
Det er jo klart at X må være et af tallene 0, 1, 2 eller 3. Nu skal du så bare finde sands. for hvert af disse udfald. Måske har I lært at lave træ-diagrammer? Du kan gøre som ibibib skriver ovenfor, men vær sikker på, at du selv ved hvad der foregår....

#0:
Du kan generelisere ovenstående.

Lad først x E R. Der gælder så, at

(1+x)^n = a_n*x^n + a_{n-1}*x^(n-1) + ... + a_1*x^1 + a_0*x^0

Antag nu, at du har n perfekte mønter. Sandsynligheden for at få netop k E [0, n] plat (eller krone, hvis du synes det er ``bedre'') er så givet ved

P(k plat) = a_k/2^n

For n lige, skal du kun beregne de første n/2 + 1 koefficineter, thi for k =

a_n = a_{n-k}

For n ulige, skal du kun beregne de først n/2 koefficineter, thi for k =

a_n = a_{n-k}


Eksempel:

Antag, at vi har 5 mønter. Så er n = 5, og

(1+x)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

Vi ser, at

a_5 = a_0 = 1
a_4 = a_1 = 5
a_3 = a_2 = 10

Sandsynligheden for at få henholdsvis 0, 1, 2, 3, 4 og 5 plat er så

P(0 plat) = 1/2^5 = 1/32
P(1 plat) = 5/2^5 = 5/32
P(2 plat) = 10/2^5 = 10/32
P(3 plat) = 10/2^5 = 10/32
P(4 plat) = 5/2^5 = 5/32
P(5 plat) = 1/2^5 = 1/32

Det er vist nødvenligt med et par rettelser til #3.


I:
For n lige, kan du nøjes med at beregne de første n/2 + 1 koefficineter, thi for k

a_k = a_{n-k}

For n ulige, kan du nøjes med at beregne de først n/2 koefficineter, thi for k

a_k = a_{n-k}


II:
Et par af sandsynlighederne kan forkortes:

P(2 plat) = 5/16
P(3 plat) = 5/16


III:
Ved brug af ligning (1) på nedenstående side, kan du nemt beregne a_k'erne, idet du sætter a = 1 (vær opmærksom på, at a her ikke har noget at gøre med de a_k'er som jeg snakker om i #3):

http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html


Nu håber jeg ikke der er flere grove fejl.