Matematik
Differentialligning
dy/dx = Y*cosx/(sinx+2)
Punkt: P(0,6)
Spørgsmål:
Bestem en ligning for tangenten til grafen for g i punktet P.
Skal jeg lave en separation af de variable og så derefter isolere y. Derefter indsætte punktet for at finde k. Lyder det rigtigt?
jeg har nemlig prøvet, men går i stå ved integralen: S(cosx/(sinx+2))
Hilfe?
Svar #1
29. maj 2006 af sigmund (Slettet)
I så fald benytter du kun diff.ligningen til at bestemme tangentens hældning i P, dvs. f'(x0) i tangentens ligning.
Svar #2
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
Bestem ved beregning regneforskriften for den løsning hvis graf går igennem Q(Pi/2,6)
Men vil lige løse det første.. og helt forstå også ;)
Jeg er bange for at dit svar ikke hjælper meget.. kan du komme med et hint eller to mere? :)
Svar #3
29. maj 2006 af sigmund (Slettet)
Ligningen er
y = f(x0) + f'(x0)*(x-x0), hvor (x0,f(x0)) er det punkt, hvori du skal bestemme tangentens ligning. I dit tilfælde er f løsningen til differentialligningen. Du har fået oplyst x0 og f(x0), mens f'(x0) kan bestemmes ved indsættelse af punktet i diff.ligningen.
Løsning til diff.ligningen:
Det integrale, som du går i stå ved, løses ved substitution, hvor nævneren sættes lig t.
Svar #4
29. maj 2006 af mathon
når du har en
funktion
y=g(x)
og skal finde en ligning for funktionens tangent i et punkt (xo,g(xo)), skal du kende hældningen for tangenten = g'(xo) og dernæst - nøjagtig som sigmund i #1 har beskrevet - indsætte i tangentligningen:
(her y-yo=g'(xo)(x-xo))
I denne her opgave er du i den situation, at du kender g'(x)=dy/dx=y*cosx/(sinx+2) - og skal altså IKKE først finde g'(x)), men blot indsæt P's koordinater:
g'(xo,yo)=g(0,6)=6*cos(0)/(sin(0)+2)=
6*1/(0+2)=3.
tangentligningen for g(x) i P bliver således:
y-6=3(x-0) eller
y=3x+6
Svar #5
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
b)
Bestem ved beregning regneforskriften for den løsning hvis graf går igennem Q(Pi/2,6)
Hvordan gør jeg så her? :/
Svar #6
29. maj 2006 af sigmund (Slettet)
Du siger i #0, at du går i stå ved integralet S[cos(x)/(sin(x)+2)]dx. For at løse dette, gør som foreslået i #3.
Svar #7
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
Det jeg forsøgte at gøre i a) skal gøres i b) ;)
Takker
Svar #8
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
S(1/y dy) = S(cosx/(sinx+2) dx)
<=> ln|y| = S(1/t dt)
<=> ln|y| = ln|t|
<=> y = sinx+2
Men det er forkert.. facit skal være y=2(sinx+2)
Hvor er fejlen?
Svar #9
29. maj 2006 af sigmund (Slettet)
ln|y| = ln|t| + C, hvor C er integrationskonstanten. Denne bestemmes ud fra oplysningen om, at grafen for y skal gå igennem et punkt.
Svar #10
29. maj 2006 af mathon
dy/dx = y*cosx/(sinx+2)
"Skal jeg lave en separation af de variable og så derefter isolere y. Derefter indsætte punktet for at finde C. Lyder det rigtigt? ", som lyder SUPERfornuftigt:
I: 1/ydy=cos(x)/(sin(x)+2)dx
som anbefalet af sigmund i #3
sættes
t=sin(x)+2, hvoraf dt/dx=cos(x) eller bedre
dt=cos(x)dx.
Du substituerer i
II: 1/ydy=1/tdt, hvoraf
III: S1/ydy=S1/tdt+ln(C), hvor C er en positiv integrationskonstant
og
ln|y|-lnC=ln|t| eller
ln (|y|/C)=ln|sin(x)+2| (hvis to størrelsers ln-værdi er identiske, så er selve størrelserne identiske)
|y|/C=|sin(x)+2| eller
|y|=C*|sin(x)+2| , hvor C>0 og sin(x)+2>0, da den mindste værdi sin(x) kan antage er -1 og dermed sin(x)+2>=1, hvorfor
|y|=C*(sin(x)+2) eller
grafen skal gå gennem Q(pi/2,6), hvorfor
|6|=C*(sin(pi/2)+2)=C*3
6=C*3
C=2
|y|=2*(sin(x)+2) eller
y=±2*(sin(x)+2).
Du tjekker muligheden y=-2*(sin(x)+2) med Q's koordinater:
6=-2*(sin(pi/2 + 2) eller
6=-2*3, hvilket er falskt.
Der er således KUN
muligheden
y=2*(sin(x)+2) tilbage, som er LØSNINGEN - eller y=2sin(x)+4
der IKKE må forveksles med løsningen til første del, som er y=3(sin(x)+2)=
3sin(x)+6
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.