matrix

Hvad med følgende:

-1-2i -1+2i | 0
1 1 | 0

R2 lægges til R1:

-2i 2i | 0
1 1 | 0

R1 divideres med 2i og lægges til R2:

-1 1 | 0
0 2 | 0

R2 divideres med 2 og trækkes fra R1:

-1 0 | 0
0 1 | 0

R1 ganges med -1:

1 0 | 0
0 1 | 0

Tak for dit svar, men jeg kan ikke få det til at passe med, at det skal give x1 = 0 og x2 = 0.

Det er, fordi jeg i den del af opgaven, som jeg skrev i mit 1. indlæg, skal bestemme de to konstanter, jeg ganger på linearkombinationen af to løsninger til et differentialligningssystem, hvormed jeg får den fuldstændige løsning. Jeg får så givet en begyndelsesbetingelse, som jeg indsætter, hvormed den opskrevne matrix fremkommer.



Et andet spørgsmål går på, at jeg skal bestemme en homogen differensligning. Karakterligningen ender med at give to komplekse rødder (+/- i). Derudover får jeg én reel rod. I opgaveteksten står der, at den fuldstændige løsning til en homogen lineær 3. ordens differensligning med konstante koefficienter består af alle linearkombinationer af 3 lineært uafhængige løsninger.

Jeg har få fået fortalt, at jeg kun behøver finde de to relle løsninger, som fremkommer at den ene komplekse rod - og så bruge disse sammen med den reelle rod. Men hvordan ser jeg, at sin(k*pi/2) og cos(k*pi/2) er lineært uafhængige løsninger?

Altså, sin() kan ikke skrives som en konstant gange cos(), og vice-versa. Derfor må de være lineært uafhængige løsninger.

Hvad er dit præcise problem? Er det at bestemme en fuldstændig løsning til en differensligning? Har du ikke sætninger i en af dine bøger, der angiver, hvordan en fuldstændig løsning opskrives?

Tak for svaret!
Nu har jeg løst mit sidste problem med differensligningen.

Så er det "kun" differentialligningssystemet, jeg ikke kan finde ud af. Hvis konstanterne giver nul, så er løsningen kun 0, hvilket ikke passer.

#4
Det kan vi jo ikke rigtigt hjælpe dig med Sabrina for vi kan jo ikke se hvordan du er kommet frem til denne matrix. Men det er givet, at hvis systemet fra #0 repræsenterer et lineært ligningssystem, da har dette kun løsningen (0,0). Det kan man se umiddelbart idet der ikke ved rækkeoperationer kan fremkomme andet end nuller på "højresiden".

Opskriv differentialligningssystemet og dine regninger. Enten har du lavet en bøf ved bestemmelsen af de homogene løsninger til dette, eller en bøf ved udnyttelsen af begyndelsesbetingelserne. Endelig kunne man forestille sig, at systemet kun har den inhomogene løsning for de anvendte begyndelsesbetingelser. Men vi ved heller ikke om det er et homogen eller inhomogent eller endog lineært system.

Jeg vidste godt, at I ikke ville kunne hjælpe mig med det hele, men ville til at starte med bare være sikker på, at den matrix, som jeg her har opskrevet, virkelig gav (0,0).

Her følger opgaven og udregningerne:

Differentialligningssystemet er følgende (kræver nok lidt fantasi):
[i'_L] = [0 1/L] [i_L]
[v'_C] = [-1/C -1/(RC)] [v_C]

Bestem i_L og v_C i LRC-kredsløbet, når
R = 0,5 ohm
C = 2,5 F
L = 0,5 H
Ingen elektrisk strøm løber til tiden t = 0
Spændingsfaldet over kondensatoren til tiden t = 0 er 12V

A =
[0 1/L]
[-1/C -1/(RC)]
=
[0 2]
[-2/5 -4/5]

Herunder er lambda angivet med l:
Finder egenværdierne for A:

det(A-lI) =
| 0-l 2|
| -2/5 -4/5-l|
=-l(-4/5-l)-2(-2/5)
=l^2+4/5l+4/5
= 0 for l=-2/5 +/- i(4/5)

Finder egenvektoren for l=-2/5+i(4/5):

[0-(-2/5+i(4/5)) 2]
[-2/5 -4/5-(-2/5+i(4/5))]

reduceres til

[1 1+2i]
[0 0]

Dermed fås egenvektoren (-1-2i,1)*r, hvor r er indeholdt i de reelle tal.

På samme måde fås, at den anden egenvektor er (-1+2i,1)*s, hvor s indeholdt i R.

Så har vi de to løsninger:
[i_L] = [-1-2i]re^(-(5/2)t)
[i_C] = [1]re^(-(5/2)t)

og

[i_L] = [-1+2i]se^(-t)
[i_C] = [1]se^(-t)

Linearkombinationen udgør således samtlige løsninger. Indsætter jeg begyndelsesbetingelsen fås:

[0]=[-1-2i]r+[-1+2i]s
[0]=r+s

Herefter skal jeg så finde r og s (og resten af historien kender I :) )

Nu jeg sad og skrev opgaven op, kom jeg til at undre mig over, hvornår jeg egentlig skal bruge oplysningen med spændingsfaldet over kondensatoren.

Jeg er forresten også stødt ind i et mindre problem i forbindelse med den anden opgave med differensligningen.

Jeg får givet, at jeg skal gætte på x_k=ak(-1)^k
som en partikulær løsning.

Differensligningen er:
x_k+x_{k-1}+x_{k-2}+x_{k-3} = 4(-1)^k

Hvordan bestemmer jeg a?
Jeg har prøvet at indsætte løsningen og får dermed:
ak(-1)^k+a(k-1)(-1)^(k-1)+a(k-2)(-1)^(k-2)+a(k-3)(-1)^(k-3) = 4(-1)^k,
men det er svært at gøre noget ved.

Nu skal det siges, at vi ikke har haft noget om differensligninger, men vores forelæser synes, at prøveopgaverne gerne må række lidt uden for pensum (og der er trods alt også mange ligheder mellem differens- og differentialligninger), men lige her sidder jeg dog fast.

Jeg har lige opdaget min bøf i #6, tror jeg :)

Jeg skal naturligvis bruge den sidste oplysning i den ene af ligningerne, så i stedet for at sætte den lig 0, skal den være lig 12.

Jeg prøver lige at se, om det giver noget bedre.