Matematik
Andengradsligning.
06. juni 2006 af
Amigo (Slettet)
Hej folkens.
Jeg synes, det er imponerende, at folk med kompetencer inden for forskellige faqområder har overskud til at lære fra sig herinde. Det nævnes ikke så ofte, men lad mig da lige (og gerne med øvriges tilslutning) stadfæste et stort tak til de, der gør en indsats for at hjælpe andre på vej. Det er hæderligt!
Jeg befinder mig i en situation, hvor jeg endelig har indlært én af de måder, hvorpå man kan isolere x i en andengradsligning. Den følger nedenfor (jeg er særdeles modtagelig over for korrektion):
En andengradsligning er defineret således:
ax^2+bx+c = 0 , hvor a er forskellig fra nul
Ligningen ovenfor omskrives, således isolering af x bliver simplere:
ax^2+bx+c = 0
Der ganges med 4a på begge sider af lighedstegnet:
4a^2x^2+4abx+4ac = 0 (0, jf. nulreglen, således at et led, hvori der indgår en faktor, som er = 0, giver 0)
Der lægges b^2-4ac til på begge sider af lighedstegnet:
4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-4ac = b^2-4ac
<=> 4a^2x^2+4abx+b^2 = b^2-4ac
Vi benytter kvadratsætningen (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 til at omskrive højre side. I samme åndedræt sætter vi, at b^2-4ac = d, således andengradsligningens diskriminant:
4a^2x^2+4abx+b^2 = b^2-4ac
=> (2ax+b)^2 = d
Af den overordnede sætning ved vi, at en andengradsligning har nul løsninger, hvis d < o, én løsning, hvis d = 0, og slutteligt to løsninger, hvis d > 0.
Lad os bruge omskrivningen af andengradsligningen til at verificere dette:
1) d
Med udgangspunkt i
(2ax+b)^2 = d
kan der umuligt være en eller flere løsninger, eftersom et kvadrat ikke kan være negativt. Der er altså ingen løsninger, når d
2) d = 0
Med udgangspunkt i
(2ax+b)^2 = d
er der kun en løsning, såfremt
2ax+b = 0
Lad os derfor løse denne ligning:
2ax+b = 0
<=> 2ax = -b
<=> x = -b/2a
Ligningen har således én løsning, hvis d = 0.
3) d > 0
Nedenstående kan også betragtes som en såkaldt kvadratisk ligning af den mere simple form y^2 = d. Sådanne har altid to løsninger ±sqrt(d), hvis d > 0, dette fordi eksempelvis (-2)^2 og 2^2 begge giver 4. Vi løser derfor ligningen:
2ax+b = ±sqrt(d)
<=> 2ax = -b±sqrt(d)
<=> x = -b±sqrt(d)/2a
Ligningen har således to løsninger, hvis d > 0.
-------------------------------------------
Og hvad vil jeg så med dette indlæg? Jo, jeg har stillet mig selv nogle spørgsmål, som omhandler beviset af denne sætning.
1) Ved omskrivningen af den i sætningen skrevne formel ax^2+bx+c = 0 tillader jeg mig indledningsvis at multiplicere med 4a på begge sider af lighedstegnet og siden addere med b^2-4ac. Men hvorfor gør jeg det - hvorfor er det netop disse værdier, der bruges? Jeg kan forestille mig, at det er et spørgsmål, der vil lyde fra lærer og censor, hvis jeg skal op i dette emne, når jeg skal til årsprøve på mandag. Er der en eller flere, der har et svar hertil?
2) Dette et tilsyneladende ikke det eneste bevis - der er flere. Kan disse beviser klassificeres efter hvor gode, de er, eller er alle principielt "lige gode" - og hvor væsentligt er det at kunne mere end et bevis, når man står i prøvesituationen?
Jeg takker på forhånd.
Vh
Amigo
Jeg synes, det er imponerende, at folk med kompetencer inden for forskellige faqområder har overskud til at lære fra sig herinde. Det nævnes ikke så ofte, men lad mig da lige (og gerne med øvriges tilslutning) stadfæste et stort tak til de, der gør en indsats for at hjælpe andre på vej. Det er hæderligt!
Jeg befinder mig i en situation, hvor jeg endelig har indlært én af de måder, hvorpå man kan isolere x i en andengradsligning. Den følger nedenfor (jeg er særdeles modtagelig over for korrektion):
En andengradsligning er defineret således:
ax^2+bx+c = 0 , hvor a er forskellig fra nul
Ligningen ovenfor omskrives, således isolering af x bliver simplere:
ax^2+bx+c = 0
Der ganges med 4a på begge sider af lighedstegnet:
4a^2x^2+4abx+4ac = 0 (0, jf. nulreglen, således at et led, hvori der indgår en faktor, som er = 0, giver 0)
Der lægges b^2-4ac til på begge sider af lighedstegnet:
4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-4ac = b^2-4ac
<=> 4a^2x^2+4abx+b^2 = b^2-4ac
Vi benytter kvadratsætningen (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 til at omskrive højre side. I samme åndedræt sætter vi, at b^2-4ac = d, således andengradsligningens diskriminant:
4a^2x^2+4abx+b^2 = b^2-4ac
=> (2ax+b)^2 = d
Af den overordnede sætning ved vi, at en andengradsligning har nul løsninger, hvis d < o, én løsning, hvis d = 0, og slutteligt to løsninger, hvis d > 0.
Lad os bruge omskrivningen af andengradsligningen til at verificere dette:
1) d
Med udgangspunkt i
(2ax+b)^2 = d
kan der umuligt være en eller flere løsninger, eftersom et kvadrat ikke kan være negativt. Der er altså ingen løsninger, når d
2) d = 0
Med udgangspunkt i
(2ax+b)^2 = d
er der kun en løsning, såfremt
2ax+b = 0
Lad os derfor løse denne ligning:
2ax+b = 0
<=> 2ax = -b
<=> x = -b/2a
Ligningen har således én løsning, hvis d = 0.
3) d > 0
Nedenstående kan også betragtes som en såkaldt kvadratisk ligning af den mere simple form y^2 = d. Sådanne har altid to løsninger ±sqrt(d), hvis d > 0, dette fordi eksempelvis (-2)^2 og 2^2 begge giver 4. Vi løser derfor ligningen:
2ax+b = ±sqrt(d)
<=> 2ax = -b±sqrt(d)
<=> x = -b±sqrt(d)/2a
Ligningen har således to løsninger, hvis d > 0.
-------------------------------------------
Og hvad vil jeg så med dette indlæg? Jo, jeg har stillet mig selv nogle spørgsmål, som omhandler beviset af denne sætning.
1) Ved omskrivningen af den i sætningen skrevne formel ax^2+bx+c = 0 tillader jeg mig indledningsvis at multiplicere med 4a på begge sider af lighedstegnet og siden addere med b^2-4ac. Men hvorfor gør jeg det - hvorfor er det netop disse værdier, der bruges? Jeg kan forestille mig, at det er et spørgsmål, der vil lyde fra lærer og censor, hvis jeg skal op i dette emne, når jeg skal til årsprøve på mandag. Er der en eller flere, der har et svar hertil?
2) Dette et tilsyneladende ikke det eneste bevis - der er flere. Kan disse beviser klassificeres efter hvor gode, de er, eller er alle principielt "lige gode" - og hvor væsentligt er det at kunne mere end et bevis, når man står i prøvesituationen?
Jeg takker på forhånd.
Vh
Amigo
Svar #1
06. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)
1) Kort sagt gør man det fordi det virker. :) Vi har brug for at lave et udtryk, vi kan omskrive - i dette tilfælde reducere vha. en kvadratsætning. Så benytter vi en af reglerne for løsning af ligninger, nemlig at man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Eneste undtagelse er at man ikke må gange med 0, men lige netop det har vi sikret os mod i definitionen på andengradspolynomiet, i det a her ikke må være 0.
2) De to-tre forskellige beviser der bruges i gymnasiebøgerne er nøjagtig lige gode - det er bare forskellige omskrivning af et udtryk. Sammenlign det med, at man kan løse to ligninger med to ubekendte på flere måder - nogen foretrækker den ene, andre den anden, men ligemeget hvilken metode man bruger når man det samme resultat, og det er det der tæller. Jeg kan ikke forestille mig at du bliver hørt i mere end et bevis for hver sætning til en prøve - har du allerede bevist noget, vil lærer og censor hellere se dig vise noget andet end se dig vise det samme en gang til. :)
2) De to-tre forskellige beviser der bruges i gymnasiebøgerne er nøjagtig lige gode - det er bare forskellige omskrivning af et udtryk. Sammenlign det med, at man kan løse to ligninger med to ubekendte på flere måder - nogen foretrækker den ene, andre den anden, men ligemeget hvilken metode man bruger når man det samme resultat, og det er det der tæller. Jeg kan ikke forestille mig at du bliver hørt i mere end et bevis for hver sætning til en prøve - har du allerede bevist noget, vil lærer og censor hellere se dig vise noget andet end se dig vise det samme en gang til. :)
Svar #2
06. juni 2006 af Amigo (Slettet)
#1: Tak - endnu engang vover en venlig sjæl at hjælpe en ukendt i nød :) Det er rart.
I dit svar til mit spørgsmål 1) forstår jeg dog ikke, hvorledes man lige netop ved, at det er 4a, der skal ganges med - hvordan når man frem til den konklusion, hvis man til eksaminationen bliver spurgt: "Hvorfor er det lige 4a, du vælger at gange med - og hvorfor er det senere b^2-4ac, du lægger til?"
På forhånd tak!
Vh
Amigo
I dit svar til mit spørgsmål 1) forstår jeg dog ikke, hvorledes man lige netop ved, at det er 4a, der skal ganges med - hvordan når man frem til den konklusion, hvis man til eksaminationen bliver spurgt: "Hvorfor er det lige 4a, du vælger at gange med - og hvorfor er det senere b^2-4ac, du lægger til?"
På forhånd tak!
Vh
Amigo
Svar #3
07. juni 2006 af Sansnom (Slettet)
#2,
Svaret på "hvorfor" er "vent og se!".
Du mangler med 4a og lægger d til, fordi du derved kommer frem til noget, der er lettere at se på. Der er ikke nogen dybere mening end det.
Din lærer vil med 99.9% sikkerhed ikke spørge om "hvorfor" til det.
Han kan dog finde på at spørge om, hvorfor du _må_ gange med 4a. (Svaret er, at man må gange med ethvert tal undtagen 0 - og a er forskellig fra 0).
Svaret på "hvorfor" er "vent og se!".
Du mangler med 4a og lægger d til, fordi du derved kommer frem til noget, der er lettere at se på. Der er ikke nogen dybere mening end det.
Din lærer vil med 99.9% sikkerhed ikke spørge om "hvorfor" til det.
Han kan dog finde på at spørge om, hvorfor du _må_ gange med 4a. (Svaret er, at man må gange med ethvert tal undtagen 0 - og a er forskellig fra 0).
Svar #4
07. juni 2006 af Amigo (Slettet)
Hvis a var nul, måtte jeg ikke gange med 4a, fordi man ikke må gange med nul - faktorernes orden er jo ligegyldig i multiplikation jf. den kommutative lov. Jeg må generelt ikke gange med nul jf. reglerne for ligningsløsning.
Er dette et korrekt svar?
Er dette et korrekt svar?
Svar #5
07. juni 2006 af Sansnom (Slettet)
#4,
Det er fint. Du kan også blot selv, når du ganger med 4a, side at det er lovligt, da a er forskellig fra nul.
Det er fint. Du kan også blot selv, når du ganger med 4a, side at det er lovligt, da a er forskellig fra nul.
Svar #6
07. juni 2006 af Amigo (Slettet)
Mange tak.
Jeg prøver umiddelbart at dække emnet
så godt som muligt i mine forberedelser, således jeg er forberedt bedst muligt til den kommende årsprøve. Jeg har kommunikeret med min matematiklærer, som forklarede, at det er muligt at komme op i et spørgsmål, hvor man skal opstille forskellige metoder til løsning af en andengradsligning. I den forbindelse vil jeg selvfølgelig gerne lære mere end bare det ene bevis, som jeg tilsyneladende har godt styr på. Det vil jeg dog se nærmere på senere og i stedet forsøge at blive lidt klogere på det, man kalder parablens toppunkt. Vi har arbejdet med det, og jeg kender formlerne til koordinaterne, men jeg ved ikke, hvordan man helt nøjagtigt beviser, at det ér formlerne for toppunkterne. Jeg har fundet lidt indlæg, som omhandler dette emne, men jeg har lidt svært ved at forstå meget af det - givet, fordi de pågældende beviser tager udgangspunkt i andre beviser, end det jeg efterhånden har indprentet. Er der en eller flere, der har lyst til at forklare lidt?
Vh
Amigo
Jeg prøver umiddelbart at dække emnet
så godt som muligt i mine forberedelser, således jeg er forberedt bedst muligt til den kommende årsprøve. Jeg har kommunikeret med min matematiklærer, som forklarede, at det er muligt at komme op i et spørgsmål, hvor man skal opstille forskellige metoder til løsning af en andengradsligning. I den forbindelse vil jeg selvfølgelig gerne lære mere end bare det ene bevis, som jeg tilsyneladende har godt styr på. Det vil jeg dog se nærmere på senere og i stedet forsøge at blive lidt klogere på det, man kalder parablens toppunkt. Vi har arbejdet med det, og jeg kender formlerne til koordinaterne, men jeg ved ikke, hvordan man helt nøjagtigt beviser, at det ér formlerne for toppunkterne. Jeg har fundet lidt indlæg, som omhandler dette emne, men jeg har lidt svært ved at forstå meget af det - givet, fordi de pågældende beviser tager udgangspunkt i andre beviser, end det jeg efterhånden har indprentet. Er der en eller flere, der har lyst til at forklare lidt?
Vh
Amigo
Svar #8
07. juni 2006 af Benjamin. (Slettet)
#6-7
Der er ikke flere toppunkter på en parabel. Der er et og det finder man ved formlen:
T = (-b/(2a);-d/(4a))
Hvor -b/(2a) er 1.-koordinatet og -d/4a er 2.-koordinatet.
Du kan evt. bruge følgende beviser:
Bevis 1:
For f(x) = ax² + bx + c , a!=0 er c skæring med 2.-aksen. Linjen som går gennem dette skæringspunkt og er parallel med 1.-aksen, skærer tilmed grafen for andengradspolynomiet i et anden punkt (forudsat at toppunktet ikke ligger på 2.-aksen (altså når b=0), men selvom dette skulle være sandt, kan man opstille:)
ax² + bx + c = c
<=> ax² + bx = 0
<=> x(ax + b) = 0
<=> x = 0 v ax + b = 0
<=> x = 0 v x = -b/a
Det ene punkt, hvor den vandrette linje skærer grafen for andengradspolynomiet er som sagt 0 (på 2.-aksen) og det andet er -b/a. Pga. af symmetrien om toppunktets 1.-koordinat ligger toppunktet mellem de to skæringspunkter:
(0+(-b/a))/2 = -b/(2a)
Når toppunktets 1.-koordinat ligger på 2.-aksen er toppunktets 1.koordinat 0. Det får du også, da b=0.
Hvis du sætter toppunktets 1.-koordinatet ind i andengradspolynomiet får du:
f(-b/(2a)) = a(-b/(2a))² + b(-b/(2a)) + c = a(b²/(4a²)) + (-b²/(2a)) + c = b²/(4a) - 2b²/(4a) + 4ac/(4a) = (-b²+4ac)/(4a)
Bevis 2:
Da der er symmetri omkring toppunktets 1.-koordinat (kald koordinatet for h), kan der for andengradspolynomiet
f(x) = ax² + bx + c , a!=0 skrives:
f(h-x)=f(h+x)
<=> a(h-x)² + b(h-x) + c = a(h+x)² + b(h+x) + c
<=> a(h²-2hx+x²) + bh - bx = a(h²+2hx+x²) + bh + bx
<=> ah² - 2ahx + ax² - bx = ah² + 2ahx + ax² + bx
<=> -2ahx - bx = 2ahx + bx
<=> -2bx = 4ahx
<=> -b = 2ah
<=> h = -b/(2a)
Her bruges samme metode til at finde 2.-koordinatet.
Der er ikke flere toppunkter på en parabel. Der er et og det finder man ved formlen:
T = (-b/(2a);-d/(4a))
Hvor -b/(2a) er 1.-koordinatet og -d/4a er 2.-koordinatet.
Du kan evt. bruge følgende beviser:
Bevis 1:
For f(x) = ax² + bx + c , a!=0 er c skæring med 2.-aksen. Linjen som går gennem dette skæringspunkt og er parallel med 1.-aksen, skærer tilmed grafen for andengradspolynomiet i et anden punkt (forudsat at toppunktet ikke ligger på 2.-aksen (altså når b=0), men selvom dette skulle være sandt, kan man opstille:)
ax² + bx + c = c
<=> ax² + bx = 0
<=> x(ax + b) = 0
<=> x = 0 v ax + b = 0
<=> x = 0 v x = -b/a
Det ene punkt, hvor den vandrette linje skærer grafen for andengradspolynomiet er som sagt 0 (på 2.-aksen) og det andet er -b/a. Pga. af symmetrien om toppunktets 1.-koordinat ligger toppunktet mellem de to skæringspunkter:
(0+(-b/a))/2 = -b/(2a)
Når toppunktets 1.-koordinat ligger på 2.-aksen er toppunktets 1.koordinat 0. Det får du også, da b=0.
Hvis du sætter toppunktets 1.-koordinatet ind i andengradspolynomiet får du:
f(-b/(2a)) = a(-b/(2a))² + b(-b/(2a)) + c = a(b²/(4a²)) + (-b²/(2a)) + c = b²/(4a) - 2b²/(4a) + 4ac/(4a) = (-b²+4ac)/(4a)
Bevis 2:
Da der er symmetri omkring toppunktets 1.-koordinat (kald koordinatet for h), kan der for andengradspolynomiet
f(x) = ax² + bx + c , a!=0 skrives:
f(h-x)=f(h+x)
<=> a(h-x)² + b(h-x) + c = a(h+x)² + b(h+x) + c
<=> a(h²-2hx+x²) + bh - bx = a(h²+2hx+x²) + bh + bx
<=> ah² - 2ahx + ax² - bx = ah² + 2ahx + ax² + bx
<=> -2ahx - bx = 2ahx + bx
<=> -2bx = 4ahx
<=> -b = 2ah
<=> h = -b/(2a)
Her bruges samme metode til at finde 2.-koordinatet.
Skriv et svar til: Andengradsligning.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.