Differentialkvotien

Personligt ville jeg nok starte med sekanthældning og så forklare, hvordan tangenthældningen er grænseværdien af sekanthældningerne.

Derefter vil det være på sin plads at skrive definitionen på f'(x) op.

Endeligt ville et eksempel eller 3 med punkter, hvor differentialkvotienten ikke eksistere være en god ide.

Alt i alt bør dette tage 2-3 min, hvis du er har helt styr på det.

#1
vil du ikke uddybe...
Hvad ville du præcist sige??

#1

Sekanthældning?.. altså mener du her, at en funktion f siges at være differentiabel i x, hvis sekanthældningen har en grænseværdi for delta x gående mod 0.... ik?....

og sekanthældning er: delta f / delta x = f(x+deltax)-f(x)/delta x...ik?

og tusind tak.. nu mangler j bare det her... :)

En sekanthældning er hældningen på den linje, der forbinder to tilfældige punkter på en graf. Hvis du tager udgangspunkt i x0 og x0+h, og funktionen hedder f(x), vil sekantens hældning være givet ved: (f(x0+h)-f(x0))/(x0+h-x0)=(f(x0+h)-f(x0))/h=deltay/h. Dette er som nævnt et udtryk for sekanthældningen, eller som den også kaldes: "Differenskvotienten" i og med der er tale om en brøk, hvor tæller og nævner er differenser. Hvis du i dette udtryk lader h gå mod 0, vil sekanthældningen (hvis ellers f(x) er differentiabel) gå mod tangenthældningen i x0 - dette kaldes differentialkvotienten f'(x). Formelt skrives det: deltay/h --> f'(x) for h-->0.

Vi kan tage et eksempel:
f(x)=ax²

Først findes funktionstilvæksten deltay=f(x+h)-f(x): deltay=f(x+h)-f(x)=a(x+h)²-ax²=a(x²+h²+2hx)-ax²=ax²+ah²+2ahx-ax²=ah²+2ahx

Så skal vi dividere ovenstående med h:
deltay/h=(ah²+2ahx)/h=2ax+ah.

Til sidst skal vi lade h gå mod 0 og se hvad differentialkvotienten (hvis den findes) er: 2ax+ah-->2ax for h-->0. Konklusionen er altså, at (ax²)'=2ax.

Blev det mere klart?

#2,
Nej, jeg vil ikke gengive præcist, hvad jeg ville sige, hvis jeg selv skulle op.

Jeg ser en klar fare i, at dette forum udvikler sig til at give færdige opskrifter til ethvert kendt eksamensspørgsmål fremfor at hjælpe med at skabe forståelse, så personen selv kan lave en fornuftig disposition og indhold.

Hjælp til selvhjælp er som regel bedre end blot at give folk en færdig løsning - uanset at mange hellere vil springe over selv at lave arbejdet :)

#4..


tusind tak..

ser lyset nu... :)