integralregning

f(x)=(-x^2+9^2)^½

eller
f(x)=sqrt(-x^2+9^2)
f(x)=sqrt(9^2-x^2)

her er det særdeles fordelagtigt
at substituere
x=9*sin(t),
der giver
dx/dt=9*cost eller bedre dx=9*cos(t)dt
og
x^2 =9^2*sin^2(t) (hvor sin^2(t)=(sin(t))^2

nu har vi værktøjet,
så nu integrerer vi:

S sqrt(9^2-x^2)*dx
S sqrt[9^2-9^2*sin^2(t)]*9*cos(t)dt

9S sqrt[9^2(1-sin^2(t)]* cos(t)dt
9S sqrt(9^2)*sqrt(1-sin^2(t))*cos(t)dt
81S sqrt(cos^2(t))* cos(t)dt

81S cos^2(t)dt

her benytter vi: cos(2t)=2*cos^2(t)-1 eller 2*cos^2(t)=1+cos(2t)
81/2*S2*cos^2(t)dt

81/2*S(1+cos(2t))dt

81/2*[t+1/2*sin(2t)]
81/2*[t+1/2*2*sin(t)*cos(t)]
81/2*[t+sin(t)*cos(t)
81/2[t+sin(t)*sqrt(1-sin^2(t))]
der
så lige skal "overskrives i x":

it goes:
når x=9*sin(t), er t=sin^-1(x/9) og sin(t)=x/9

som indsættes i 81/2[t+sin(t)*sqrt(1-sin^2(t))]

81/2[sin^-1(x/9)+x/9*sqrt(1-(x/9)^2)]

81/2[sin^-1(x/9)+x/9*sqrt((81-x^2)/81)]

81/2[sin^-1(x/9)+x/81*sqrt(81-x^2)]
81/2*sin^-1(x/9)+x/2*sqrt(81-x^2)

S5/9*f(x)dx =5/9*Sf(x)dx=

5/9[81/2*sin^-1(x/9)+x/2*sqrt(81-x^2)]=

45/2*sin^-1(x/9)+5/18*x*sqrt(81-x^2)

...grunden til, at jeg har gennemgået integrationen fra a til z - og ikke har indskrænket mig til at "række en hånd" er, at det er uhyre vanskeligt at frem-og tilbage-kommunikere sådan en opgavetype, som først og fremmest stiller store krav til korrekt notation, men også kan afstedkomme lidt for mange spørgsmål_svar-indlæg, der hurtigt vil kunne løbe op i ca. 40 - og hvor er overskueligheden så henne?