Matematik

bevis for differentialligninger

18. juni 2006 af Eva (Slettet)

Hey :)

kan hverken fatte hoved eller hale i det her bevis :s håber der er en som kan hjælpe mig..

Sætning:
Differentialligningen y' = b - a * y har den fuldstændige løsning:
y = b/a + c * e^-ax

Bevis:

Vi vil bevise at en funktion f er en løsning til differentialligningen
y' = b - a*y netop hvis funktionen
g(x) = f(x) -b/a er løsning til
y' = -a*y

(hmm.. allerede her er jeg stået af.. hvorfor inddrage en anden funktion??)

Videre:

f(x) - b/a er løsning til y' = -a*y <=>
f(x)-b/a)' = a * (f(x) - b/a) <=>
f´(x) = b - a * f(x)<=>
f er en løsning til y' = b - a*y

(hvordan konkluderer man det sidste led??)

vi ved at y' = a * y har løsningen
y = c * e^ax

alså er det første udsagn ensbetydende med at f(x) - b/a = c*e^-ax

'(det sidste her er jeg heller ikke med på hvad betyder??)

Så alt i alt har jeg ikke fattet det overordnede i beviset.. håber der er en der kan hjælpe..

Mvh Eva

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. juni 2006 af Mr_Mo (Slettet)

Skal jeg prøve at gennemgå den lidt hurtig, så kan du se om du forstår det bedre.

Vi vil bevise at en funktion f er en løsning til differentialligningen
f'(x) = a*f(x) + b

Vi indfører en ny funktion g(x), som er lig med f'(x):
g(x) = a*f(x) + b

Grunden til at man indfører g, er for at komme frem til:
g'(x)=a*g(x)
Så man kan bruge noget man kender.

Vi differentier så funktionen g(x):
g'(x) = a*f'(x) <=> f'(x) = 1/a*g'(x)

Vi bruger herefter at:
f'(x) = g(x)
Og får:
g(x) = 1/a*g'(x) <=>
g'(x)=a*g(x)
Løsningen til denne kender vi:
g(x) = k*e^(ax)

Så kender vi g(x)=f'(x), samt at:
f'(x) = a*f(x) + b
Indsætter vi dette i:
g(x) = k*e^(ax) <=>
a*f(x) + b = k*e^(ax) <=>
a*f(x) = -b + k*e^(ax) <=>
f(x) = -b/a + c*e^(ax)
Hvor vi har sat k/a=c

Hermed har vi vist at den fuldstændige løsning til differentialligningen
f'(x) = a*f(x) + b
er på formen:
f(x) = -b/a + c*e^(ax)

Håber du har forstået det nu :)

Svar #2
18. juni 2006 af Eva (Slettet)

Du bruger da slet ikke de samme formler som jeg gør?? kan i hvert fald slet ikke finde rundt i det :(

jeg har g(x) = f(x) - b/a

og det kan jeg altså på ingen måde få til at blive f´(x) som er lig med b - a*y...???

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. juni 2006 af Mr_Mo (Slettet)

#2
Hvilken bog bruger du?
Jeg bruger MAT 3A (3-årigt A-niveau) fra Systime, beviset står på side 22...

Så jeg kender ikke din metode. Sorry. Synes også at jeg slet ikke forstod din bevis, det må skyldes forskellige metoder.

Svar #4
18. juni 2006 af Eva (Slettet)

mm.. jeg er 1-årigt.. og har derfor en anden bog ;) nok der den ligger :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. juni 2006 af fixer (Slettet)

#0
Ideen er at udnytte at man på forhånd ved, at løsningsmængden til differentialligninger af typen

y' = -ay (1)

hvor a er en reel konstant, er

y = c*exp(-ax), x E R, c reel konstant.

Såfremt man kan reducere problemet til en differentialligning af typen (1), så er man derfor færdig, da vi jo så øjeblikkeligt kan opskrive løsningen.

Tricket, der benyttes, er nu, at hvis f er en løsning til

y' = b - ay (2)

så søger vi en anden funktion, g(x), som afhænger af f(x), men som er en løsning til (1).

Første skridt i beviset går ud på at vise, at g(x) må have formen g(x) = f(x)-b/a, hvor a ikke er nul. Hvis g(x) skal være en løsning til (1), ja så må g(x) = f(x)-b/a skulle tilfredsstille (1). Det viser man så er tilfældet.

Anden del af beviset går ud på at udnytte, at g tilfredstiller (1) og derfor har formen c*exp(-ax). Så har man

c*exp(-ax) = g(x) = f(x)-b/a

eller

f(x) = b/a + c*exp(-ax)

Svar #6
18. juni 2006 af Eva (Slettet)

1000 tak.. nu er det meget mere klart hvad det her egentlig går ud på :)

men lige en lille ting.. hvordan viser du at g tilfredstiller (1)??

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. juni 2006 af fixer (Slettet)

#6
Som sagt ved at indsætte g i (1). Det er netop det, der foregår i følgende regninger taget fra #0.

"f(x) - b/a er løsning til y' = -a*y <=>
f(x)-b/a)' = a * (f(x) - b/a) <=>
f´(x) = b - a * f(x)<=>
f er en løsning til y' = b - a*y "

hvor g(x) = f(x)-b/a. Der står i ord, at hvis g tilfredsstiller (1), så tilfredsstiller f (2) [se #5 for formelnummerering].

Alle de funktioner g, der tilfredsstiller (1), ved vi er g(x) = c*exp(-ax). Derfor slutter vi, at alle de funktioner f, der tilfredsstiller (2) er bestemt af

g(x) = x*exp(-ax) = f(x) -b/a

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. juni 2006 af fixer (Slettet)

#7
Rettelse:

g(x) = x*exp(-ax) = f(x) -b/a

->

g(x) = c*exp(-ax) = f(x) -b/a

Skriv et svar til: bevis for differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.