Trigonometriopgaver

Tegn: enhedscirklen, retningspunktet til 45º, højden fra retningspunktet og til 1.-aksen. Disse to linjestykker sammen med 1.-aksen danner en trekant.
Trekanten er en ligebenet, retvinklet trekant, så to af vinklerne er 45º og den sidste selvfølgelig 90º.
Prøv selv videre.

Den første kan bevises med et indlysende geometrisk bevis, der (nok) er mest oplagt at bruge. Benjamin giver dig forklaringen.

Derfor konstarer vi at sin(45) = cos(45)

Bevis for at sin(45) = sqrt(2)/2

I enhedscirklen ved du altså at de 2 kateter i den fremkomne retvinklede trekant er lige lange (det følger jo af sin(45) = cos(45). Det må ifølge pythagoras gælde at:

x^2+x^2=1^2

hvor x naturligvis er lig cos(45)=sin(45). Der fås ved reduktion af begge sider:

2*x^2=1

Der divideres med 2 på begge sider:

x^2 = 1/2

Kvadratroden tages på begge sider:

x = sqrt(1/2) = sqrt(1)/sqrt(2)

x = 1/sqrt(2)

Så ganges der med kvadratroden af 2 i tæller og nævner (det må man jo godt!):

x = sqrt(2)/2 = cos(45) = sin(45)

Det var i hvert fald en ret oplagt mulighed.