Matematik

En differentialligning

09. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Find den funktion y(t) der opfylder betingelserne

y'(t) = t*sqrt(1-y^2) , y(0) = 0

Husk at angive for hvilke t funktionen er defineret.

###############################

Jeg løser differentialligningen til:

y(t) = sin(t^2 / 2)

Men hvad er grænserne for t? Kan det være rigtigt, at t^2 < Pi? Eller t^2 <= Pi?

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. september 2006 af Sentinox (Slettet)

Hej.
Din løsning er korrekt.
Løsningen er defineret for alle t element i R.
Der er nemlig ingen værdier af t for hvilke brøken i sin, er udefineret.

//Sentinox

Svar #2
09. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Men hvis man løser differentialligningen ved håndkraft viser det sig jo, at hvis y = 1, da vil man dividere med 0, men man skal ikke tænke på de ugyldigheder der findes undervejs i udregningen?

Hvis man prøver at differentiere y(t) = sin(t^2 / 2), får man t*cos(t^2/2). Indsættes disse udtryk for y(t) og y'(t) i differentielligningen, vil dette kun gælde for cos(t^2 / 2) >= 0 eller t = 0?..

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. september 2006 af fixer (Slettet)

#1-#2:
Der er tilsyneladende ikke noget der volder folk flere problemer end bestemmelse af definitionsmængder for løsninger til differentialligninger.

Eftersom regningerne udført under separationen kun har mening dersom

-1

må der kræves

-1

eller

-½pi+p*2pi

Her skal du udnytte, at du bedes bestemme en partikulær løsning, som er defineret fot t=0. Det vil entydigt fastlægge det interval i (*), som er brugbart.

Svar #4
09. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Okay, det regnede jeg også lidt med. Det store spørgsmål er, om der findes en løsning som gælder for alle t? Vores hjælpelærer mente der er et eller andet trick i denne opgave, som resulterer i en anden løsning..?

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. september 2006 af fixer (Slettet)

Det er ikke tilfældet.

Svar #6
10. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Øh, hvis man prøver at differentire den givne løsning og indsætte dem i det originale udtryk får man, at udtrykket også passer for t² = Pi .. Så er det rette interval ikke:

-Pi

Eller hvad??

Svar #7
10. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Altså: Bør man ikke altid tjekke sin definitionsmængde til slut ved at differentiere sit udtryk og indsætte det i den originale ligning for at finde ud af for hvilke værdier differentialligningen er opfyldt ved den givne løsning?

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. september 2006 af Sansnom (Slettet)

#7,
Der er ikke tradition for, at man udvider sin definitionsmængde med den slags logiske slutninger (i hvert fald ikke på gymnasieniveau).

Jeg havde faktisk en diskussion med fagkonsulenten i matematik om dette. Der lader ikke til at være en konkret grund til, at man blot følger de restriktioner, som sep. af de variable rent teknisk indfører, selvom de ikke er faktiske restriktioner i forhold til den endelige løsning.

Jeg er dog helt på linie med dig - selvfølgeligt skal definitionsmængden udvides, som du gør det (så længe den forbliver et sammenhængende interval). Når først forskriften er fundet, er det jo uden betydning, at man brugte seperation af de variable til at bestemme den, så de tekniske restriktion er uden betydning, hvis de ikke er reelle restriktion.

Svar #9
13. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Faktisk var der en løsning, som gjaldt for alle t; y = 1. Det var så den der forhindrede 13-tallet for mig ^_^;

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. september 2006 af Sansnom (Slettet)

#9,
Nu passer y=1 jo ikke med y(0)=0, så det mener du vist ikke.

Svar #11
13. september 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Det var satans.. Nå, men så læste jeg forkert på tavlen.. Missede da han fotalte det, men der er en 13-tals løsning til ligningen..

Brugbart svar (0)

Svar #12
13. september 2006 af Sansnom (Slettet)

#11,

Tja, du kan godt trylle lidt ved at lave en sammensat funktion.

y(t) = sin(½t^2) -pi^½
y(t) = 1 ellers

Dermed er y differentiabel og opfylder differentialligningen i hele R.

Det er bare ikke særligt interessant (faktisk ganske idiotisk), men måske det var den løsning, du så.

Skriv et svar til: En differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.