Matematik
Algebra
Lad G være en gruppe og H en ikke-tom delmængde af G.
Vis, at H er en undergruppe af G hvis og kun hvis x*y^(-1) (* betyder gange) er element i H for alle x i H og alle y i H.
Jeg tror nok at jeg har fået vist den ene vej:
Antag at H er en undergruppe af G. Der gælder så følgende.
for alle y i H er y^(-1) i H
Dette giver at
x og y i H
=>
x og y^(-1) i H
=>
x*y^(-1) i H for alle x i H og alle y^(-1) i H
=>
x*y^(-1) i H for alle x i H og alle y i H
Men den anden vej kan jeg ikke helt få til at passe så håber på hjælp!
Det jeg skal vise er at
[1] e er i H
[2] x^(-1) er i H for alle x i H
[3] x*y er i H for alle x i H og alle y i H
hvor e er det neutrale element, for dette er netop ensbetydende med at H er en undergruppe af G.
Svar #2
25. september 2006 af Sansnom (Slettet)
For alle x,y i H, har du, at x*y^-1 er i H.
Specielt gælder altså, at for y in H gælder at y*y^-1 er i H. Da H er ikke-tom, findes mindst et y in H.
Da y*y^-1 = e, har du det neutrale element klaret.
[2] og [3] skulle være noget lettere nu.
Svar #3
25. september 2006 af Jeg_er_mig (Slettet)
Svar #4
25. september 2006 af Sansnom (Slettet)
Så har jeg jo lavet hele din opgave. Det giver ikke mening.
[2] er meget simpel. Brug e som x, så kommer det direkte dumpende.
[3] Her skal du bruge, at du har vist [2] - ellers er det lidt på samme måde.
Svar #5
25. september 2006 af Sansnom (Slettet)
Du har:
... for alle x,y i H: x*y^-1 i H
... e in H
Du skal vise, at
... for alle y in H: y^-1 i H.
Sæt nu x=e og svaret kommer direkte.
Skriv et svar til: Algebra
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.