Matematik
1.ordens differentialligning
21. oktober 2006 af
kitty_123 (Slettet)
Hej,
Er der nogen der kan hjælpe mig med at løse denne her?...kan virkelig ikke få det til at passe...
Vi skulle kontrollére ved at indsætte
x(t)=tan(t^2+Pi/4)
er løsning til differentialligningen:
x´= 2t*(1+x^2),
(Jeg ved godt at man kan udnytte
d/dt*tant=1+tan^2t, til at løse det, men jeg kan simpelthen ikke få det til at passe...)
og så skulle vi også kontollére at begyndelsesbetingelsen x(0)=1 for den givne løsning.
Er der nogen der kan hjælpe mig med at løse denne her?...kan virkelig ikke få det til at passe...
Vi skulle kontrollére ved at indsætte
x(t)=tan(t^2+Pi/4)
er løsning til differentialligningen:
x´= 2t*(1+x^2),
(Jeg ved godt at man kan udnytte
d/dt*tant=1+tan^2t, til at løse det, men jeg kan simpelthen ikke få det til at passe...)
og så skulle vi også kontollére at begyndelsesbetingelsen x(0)=1 for den givne løsning.
Svar #1
22. oktober 2006 af sontas (Slettet)
Lad os starte med at differentiere x(t) :
x'(t) = (1+tan^2(t^2+Pi/4))*2t, her har jeg blot udnyttet at :
tanx' = 1+tan^2(x) og kædereglen.
Indsættes x(t) og x'(t) i diff.ligningen fås :
2t(1+tan^2(t^2+Pi/4))=2t*(1+(tan(t^2+Pi/4))^2). Da højresiden er li med venstresiden, da er x(t) =tan(t^2+Pi/4) løsning til diff.ligningen.
x'(t) = (1+tan^2(t^2+Pi/4))*2t, her har jeg blot udnyttet at :
tanx' = 1+tan^2(x) og kædereglen.
Indsættes x(t) og x'(t) i diff.ligningen fås :
2t(1+tan^2(t^2+Pi/4))=2t*(1+(tan(t^2+Pi/4))^2). Da højresiden er li med venstresiden, da er x(t) =tan(t^2+Pi/4) løsning til diff.ligningen.
Svar #2
22. oktober 2006 af sigmund (Slettet)
Vi har givet x = tan(t^2+pi/4), som differentieres mht. t:
x' = 2t*sec^2(t^2+pi/4). (**)
Imidlertid har vi sammenhængen
sec^2(t) = 1 + tan^2(t) (http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html, formel 7).
Dermed skrives (**) som
x' = 2t*(1 + tan^2(t^2+pi/4)) = 2t*(1+x^2).
Således findes x som løsning til differentialligningen
x' = 2t*(1+x^2).
----------
Ved indsættelse ses, at begyndelsesetingelsen x(0)=1 er opfyldt, idet tan(pi/4)=1 (du ved, at sin(pi/4)=cos(pi/4) -- 1/2^(½)).
x' = 2t*sec^2(t^2+pi/4). (**)
Imidlertid har vi sammenhængen
sec^2(t) = 1 + tan^2(t) (http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html, formel 7).
Dermed skrives (**) som
x' = 2t*(1 + tan^2(t^2+pi/4)) = 2t*(1+x^2).
Således findes x som løsning til differentialligningen
x' = 2t*(1+x^2).
----------
Ved indsættelse ses, at begyndelsesetingelsen x(0)=1 er opfyldt, idet tan(pi/4)=1 (du ved, at sin(pi/4)=cos(pi/4) -- 1/2^(½)).
Skriv et svar til: 1.ordens differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.