Matematik

Differentialligning II

03. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Jeg skal finde den fuldstændige løsning til følgende 2. grads ligning:

(diff(x(t), t, t))+2*(diff(x(t), t))+10*x(t) = 40*exp(t)*cos(t)+18*exp(2*t)+50*t

Jeg løser først den homogene ligning ved at bruge karakterligningen hvor jeg får c1*exp(-t)*cos(3t)+c2*exp(-t)*sin(3t)

Herefter skal jeg løse den inhomogene ligning, det gør jeg ved at gætte på løsningen x = C*exp((1+i)t). Mit spørgsmpl er så hvad jeg skal gøre ved stykket "18*exp(2*t)+50*t".. Jeg har løst diff(x(t), t, t))+2*(diff(x(t), t))+10*x(t) = 40*exp((1+i)t) (40*exp((1+i)t) = 40*exp(t)*cos(t)), hvor jeg får exp(t)*(3*cos(t)+sin(t)) - men så mangler jeg stadig at antage "18*exp(2*t)+50*t", hvis man kan sige det sådan. Fra dsolve i maple får jeg x(t) = exp(-t)*sin(3*t)*_C2+exp(-t)*cos(3*t)*_C1+exp(2*t)+(3*cos(t)+sin(t))*exp(t)-1+5*t, som det kan ses mangler jeg lige det sidste "-1+5t)..

Ved ikke hvor meget mening denne post gav, men satser på lidt respons, forhåbentlig imorgen, ellers må I spørge ind! :)

På forhånd, tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

jeg er lidt i tvivl om din notation,
Din ligninen er en 2. ordens differentialligning?

x''(t)+2*x'(t)+10*x(t) = 40*exp(t)*cos(t)+18*exp(2*t)+50*t
eller skrevet anderledes

d^2x/dt^2+2*dx/dt+10*x = 40*exp(t)*cos(t)+18*exp(2*t)+50*t

Svar #2
03. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Helt korrekt omskrevet. Det er en 2. ordens differentialligning!

Svar #3
03. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Jeg undskylder den noget kludrede opstilling. Det var lidt sent, så hvis det er, kan jeg godt omskrive min post, hvis det kan hjælpe på forståelsen.

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

Jeg er med på hvad du mener, men jeg er bare ikke skrap nok i differentialligninger af den slags der... så måske der skal lidt mere erfarne folk på banen

Jeg ved at løsningen er summen af løsningen til den homogene del (som du vist har ganske rigtig) og en partikulær løsning.
JEg kan måske ikke helt følge med i hvad du laver med den. Du gætter på en løsning x, om den så rent faktisk er løsning så kan du jo hurtigt checke med differentiereing. HVis det ikke går op, så er x jo ikke løsning. Så ejg er måske ikke helt med på hvordan du kan "mangle" nogle led?

Svar #5
03. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Hele mit problem består nok i at jeg ikke kan finde en metode at løse følgende inhomogene system på:

40*exp(t)*cos(t)+18*exp(2*t)+50*t

Hvis der blot havde stået "40*exp(t)*cos(t)", ville jeg sagtens kunne løse denne, men hvordan jeg skal gribe "18*exp(2*t)+50*t" an, ved jeg ikke helt.

Jeg kan henvise til eksempel 5.7 i Matematisk Analyse 1 fra DTU.

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

det inhomogene syetem er ikkke
40*exp(t)*cos(t)+18*exp(2*t)+50*t , men
x''(t)+2*x'(t)+10*x(t) = 40*exp(t)*cos(t)+18*exp(2*t)+50*t
Du skal finde en eller anden løsning der løser hele dette system. En partikulær løsning.
Jeg ved ikke hvordan en sådan partikulær løsning findes i dette tilfælde, har ingen bøger der behandler den slags.
Måske der står noget lignende i din bog, omkring hvilke metoder man kan bruge

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. december 2006 af Lurch (Slettet)

Jeg fandt lidt om det her
http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/eg1006/notes/node158.html
Men jeg har desværre ikke tid til at kigge på det... Måske nogle lidt mere hardcore matematikere kan se på det, ved fixer og alan_sim og mathon er ret skarpe til den slags

Svar #8
03. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Håber en af de lidt mere hardcore kan sparke mig igang så. :) Men ellers mange tak for hjælpen Lurch!

Svar #9
05. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Har fundet ud af metoden. For de interesserede; man betragter ganske simpelt hvert "led" på højre siden som en inhomogen differentialligning, hvilket betyder at man skal gætte på tre løsninger, en for hvert led. I det her tilfælde var mine "gæt":

e^(1+i) for x''(t)+2*x'(t)+10*x(t) = 40*exp(t)
e^2t for x''(t)+2*x'(t)+10*x(t) = 18e^2t
at + b for x''(t)+2*x'(t)+10*x(t) = 50t

Svar #10
05. december 2006 af Lehatti (Slettet)

Det er selvfølgelig x = e^(1+i), x = e^2t og x = at + b :)

Skriv et svar til: Differentialligning II

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.