Matematik
Faktorisering af polynomier
09. december 2006 af
Waterhouse (Slettet)
Jeg sidder med et lille problem ang. faktorisering af polynomier. Jeg tror jeg simpelthen har stirret mig blind på det, da alle tekster jeg har set, som omtaler den omskrivning jeg er i tvivl om, blot udfører den uden yderligere kommentar.
Det relaterer sig om Eulers løsning på Basel-problemet. Vi betragter sin(pi*x) som et polynomium af uendelig grad, og har så, at det må kunne faktoriseres som produkt af x-r_i, hvor r_i er en rod. I dette tilfælde er 0, ±1, ±2, ±3 osv. rødder, så vi må have
sin(pi*x)=x*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)...n
Så langt er jeg med. Imidlertid foretager min bog nu omskrivningen
x*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)=x*(1-x/1)(1+x/1)(1-x/2)(1+x/2)(1-x/3)...
...og det er her kæden hopper af. Nogen der kan være behjælpelig med at bøje det i neon for mig?
Det relaterer sig om Eulers løsning på Basel-problemet. Vi betragter sin(pi*x) som et polynomium af uendelig grad, og har så, at det må kunne faktoriseres som produkt af x-r_i, hvor r_i er en rod. I dette tilfælde er 0, ±1, ±2, ±3 osv. rødder, så vi må have
sin(pi*x)=x*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)...n
Så langt er jeg med. Imidlertid foretager min bog nu omskrivningen
x*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)=x*(1-x/1)(1+x/1)(1-x/2)(1+x/2)(1-x/3)...
...og det er her kæden hopper af. Nogen der kan være behjælpelig med at bøje det i neon for mig?
Svar #1
09. december 2006 af allan_sim
#0.
Der gælder generelt, at x-r=0 <=> 1-x/r=0 (ses ved at dividere/gange med r).
Da 1,-1,2,-2 osv. er rødder i dit tilfælde, følger resultatet heraf.
Der gælder generelt, at x-r=0 <=> 1-x/r=0 (ses ved at dividere/gange med r).
Da 1,-1,2,-2 osv. er rødder i dit tilfælde, følger resultatet heraf.
Svar #3
09. december 2006 af Waterhouse (Slettet)
Hmm, men gælder det ikke kun at x-r=0 når x=r? Jeg kan godt se at din omskrivning gælder, men hvis jeg kigger på
sin(pi*x)=x*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)
og så ganger igennem med 1,-1,2,-2, osv, vil jeg så ikke få
1*(-1)*2*(-2)*3...*sin(pi*x)=x*(1-x/1)(1+x/1)(1-x/2)(1+x/2)(1-x/3)... ?
sin(pi*x)=x*(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)
og så ganger igennem med 1,-1,2,-2, osv, vil jeg så ikke få
1*(-1)*2*(-2)*3...*sin(pi*x)=x*(1-x/1)(1+x/1)(1-x/2)(1+x/2)(1-x/3)... ?
Svar #4
09. december 2006 af Waterhouse (Slettet)
Hvis du eventuelt kunne lokkes til at vise et eksempel med et helt almindeligt polynomium af endelig grad, ville jeg blive lykkelig, tror det ville få tiøren til at falde. :)
Skriv et svar til: Faktorisering af polynomier
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.