Formel Logik

Godels ufuldstædighedssætninger siger, at ethvert formelt system man kan definere kan være enten fuldstændigt eller konsistent, men ikke begge dele.

Et system er fuldstændigt hvis enhver sand sætning i systemet kan udledes indenfor rammerne af systemet.

Et systemt er konsistent hvis enhver sætning, der kan udledes i det, er sand (sagt anderledes: det er fri for selv-modsigelser).

Kan du se forskellen?

I et fuldstændigt system kan man udlede alle sande sætninger. Godel viste, at hvis man kan det, så kan man også udlede sætninger, der er falske.

I et konsistent system kan man ikke udlede sætninger, der er falske. Godel viste, at hvis man kun kan udlede sande sætninger, så vil der være sande sætninger man ikke kan udlede.

Godels første ufuldstændighedssætning siger at et konsistent system er ufuldstændigt, d.v.s. der findes sætninger som ikke er beviseligt sande eller beviseligt falske.

Jeg tolker dit spørgsmål således, at du vil vide hvad det betyder, at visse sætningre er uafgørlige.

Ufuldstændighedssætningen betyder ikke, at sandhedsværdien af sådanne sætninger er udefineret. Den betyder bare, at det formelle system vi kigger på ikke tager stilling til det. Det betyder ikke at sætningerne er absolut uafgørlige i den forstand at ingen nogensinde kan vide om de er sande eller falske.

Så det du skal bide mærke i, at ufuldstændighedssætningerne kun gælder i formelle systemer, der opfylder nogle særlige betingelser og som anvendes på sig selv (som deres egne bevissystemer).

Som eksempel på et formelt system der kvalificerer sig som et Godelsystem kan vi tage aritmetikken (teknisk: førsteordens Peano-aritmetik) som er teorien om naturlige tal.

Hvis aritmetikken er konsistent, så kan den ikke bevise sin egen konsistens. Det betyder ikke at vi ikke kan bevise at aritmetikken er konsistent. Det betyder, at aritmetikken ikke kan bevise konsistensen af aritmetikken. Vi kan sagtens vise at aritmetikken er konsistent, men beviset kan ikke formaliseres indenfor aritmetikken.

Men er det nogen katastrofe? Nej, selvfølgelig ikke. Antag vi ar et formelt system, som _kan_ bevise sin egen konsistens. Ville det være en garanti for at systemet er konsistent? Nej, for hvis systemet er inkonsistent, så kan det bevise hvad som helst, inklusive sin egen konsistens! At forlade sig på konsistens af et system udelukkende på baggrund af, at systemet kan bevise sin egen konsistens er lige så vanvittigt som at stole på en mand bare fordi han siger han altid er sandfærdig.