Matematik
Differentialer...
Der skal undersøges om der findes en lineær funktion som er løsning til differentialligningen:
y`= 2y + 4x
ax + b....men hvad så
-------------------------------------------
Her skal de førstegradspolynomier som er løsningen til diffetialligningen bestemmes:
x y` = y + 3
først har jeg isoleret y`:
y` = (y + 3)/ x = (y+3) 1/x
Men kan så ikke komme videre...
Nogle gode råd???
Svar #1
11. marts 2004 af Esmil (Slettet)
Antag at der findes en linie, y=ax+b , der løser differentialligningen.
Så er y'=a, og
y' = 2y + 4x =>
a = 2ax + 2b + 4x =>
a = (2b + 4x)/(1-2x)
så liniens hældning afhænger altså af x, hvilket i sig selv er en modstrid.
Tricket ved linier er jo at deres hældning er konstant.
Svar #2
11. marts 2004 af Esmil (Slettet)
Igen vil jeg sætte linien y=ax+b ind i differentialligningen:
xy' = y + 3 =>
ax = ax + b + 3 =>
0 = b + 3 =>
b = -3
så b bliver altså nødt til at være -3 og dermed er y=ax-3. Sætter man denne linie ind i differentialligningen, ser man at denne linie faktisk løser differentialligningen for alle a.
Altså er alle linier gennem (0,-3) løsninger. (Undtagen x=0 self.)
Svar #3
11. marts 2004 af Esmil (Slettet)
y = ax - 3 , hvor a != 0
Svar #4
11. marts 2004 af kinguroen (Slettet)
y = ax +b <=>
y` = a
x y` = y + 3 <=>
y` = ((y+3) / x)
y indsættes:
y` = ax+b+3 / x
Hvad er det jeg har mistforstået her??
Er der ikke nogen som har lyst til at fortælle hvordan man kommer fra
a = 2ax + 2b + 4x til
a = (2b + 4x)/(1-2x)???
På forhånd tak!
Svar #5
11. marts 2004 af 404error (Slettet)
y=-2x-1
er en glimrende løsning til differentialligningen. Du får ingen modstrid ved det, du opstiller, blot a og b er valgt rigtigt. De skal vælges således, at ligningen er opfyldt for alle reelle x. Det er den for ovenstående a og b.
Svar #6
11. marts 2004 af 404error (Slettet)
Svar #7
11. marts 2004 af Brian (Slettet)
Så du har ikke misforstået noget, og det er rigtigt, at når du når frem til
y` = ax+b+3 / x
Men ovenfor har du jo også fundet, at hvis y er et første gradspolynomium, så er y' = a. Sætter du det ind i stedet for y', så får du
a = ax+b+3 / x,
og ganger du x over så får du
ax = ax+b+3
og så er vi tilbage på Esmils spor, og kan køre den hjem sammen med ham/hende.
Men synes du ikke også selv dette er en bagvendt måde? Esmils måde er smartere (tak!), og den er også en metode, man kan huske: Du kan sige: "hvis y skal være et førstegradspolynomium y = ax + b, så må y' = a, og derfor sætter jeg systematisk alt y og y' ind i den oprindelige ligning og ser, hvad der sker".
Læg mærke til, at det er præcis samme strategi Esmil bruger i #1. Der fører det til at
a = (2b + 4x)/(1-2x)
Esmil påstår så, at "liniens hældning afhænger altså af x" - men overser uheldigvis, at denne sidste ligning godt kan komme til at passe for alle x, nemlig hvis b = -1. Så bliver a = -2. Tjek det selv!
Skriv et svar til: Differentialer...
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.