Matematik
Bevis for fordoblingskonstanten.
11. februar 2007 af
LoneNing (Slettet)
Jeg skal efter ferien bevise følgende sætning:
En eksponentielt voksende funktion med forskriften f(x)=b*a^x, a>1 har fordoblingskonstanten:
T_2 = log2/loga = ln2/lna
Men problemet er, at jeg ikke selv forstår sætning 100%, er der måske nogen der kort vil forklare mig den og hvordan jeg kan bevise den for min klasse?
Ville blilve så taknemlig, hvis nogen lige ville bruge lidt tid på at hjælpe.
En eksponentielt voksende funktion med forskriften f(x)=b*a^x, a>1 har fordoblingskonstanten:
T_2 = log2/loga = ln2/lna
Men problemet er, at jeg ikke selv forstår sætning 100%, er der måske nogen der kort vil forklare mig den og hvordan jeg kan bevise den for min klasse?
Ville blilve så taknemlig, hvis nogen lige ville bruge lidt tid på at hjælpe.
Svar #1
11. februar 2007 af jgthb (Slettet)
Fordoblingskonstanten er den værdi, som skal adderes til en given x-værdi for at den tilsvarende y-værdi fordobles.
Hvis vi eksempelvis har en f(2)=4, så skal vi finde ud af hvad k er således at: f(2+k)=8.
Beviset er meget enkelt.
Vi har en funktion af formen f(x)=b*a^x. Vi skal da finde ud af, for hvilket k, at der gælder:
f(x+k)=2*f(x).
Vi har altså:
b*a^(x+k)=2*b*a^x <=>
b*a^x*a^k=2*b*a^x <=>
a^k=2 <=>
k*ln(a)=ln2 <=>
k=ln(2)/ln(a)
Vi har således bevist det. Som du nok let kan se, kan man tilsvarende bevise halveringskonstant og en hvilken som helst anden konstant ved blot at erstatte 2 med det tal.
Hvis vi eksempelvis har en f(2)=4, så skal vi finde ud af hvad k er således at: f(2+k)=8.
Beviset er meget enkelt.
Vi har en funktion af formen f(x)=b*a^x. Vi skal da finde ud af, for hvilket k, at der gælder:
f(x+k)=2*f(x).
Vi har altså:
b*a^(x+k)=2*b*a^x <=>
b*a^x*a^k=2*b*a^x <=>
a^k=2 <=>
k*ln(a)=ln2 <=>
k=ln(2)/ln(a)
Vi har således bevist det. Som du nok let kan se, kan man tilsvarende bevise halveringskonstant og en hvilken som helst anden konstant ved blot at erstatte 2 med det tal.
Svar #2
11. februar 2007 af mathon
lidt kortere
f(x)=b*a^x, a>1
f(x) = 2b = b*a^X2
2 = a^X2
ln(2) = X2ln(a)
X2 = ln(2)/ln(a)
f(x)=b*a^x, a>1
f(x) = 2b = b*a^X2
2 = a^X2
ln(2) = X2ln(a)
X2 = ln(2)/ln(a)
Svar #3
11. februar 2007 af LoneNing (Slettet)
#1 Jeg forstår ikke helt, hvordan k kommer ind billedet?
I Mathons indlæg indgår der ikke noget k?
:s
I Mathons indlæg indgår der ikke noget k?
:s
Skriv et svar til: Bevis for fordoblingskonstanten.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.