Matematik
To Fjerdegradspolynomier
15. marts 2007 af
eZtaR (Slettet)
Godaften folk :)
Jeg sidder her og roder med en matematikaflevering hvor de to første opgaver indeholder fjerdegradspolynomier, og efter en halv times læsning herinde og i min matematikbog må jeg indrømme jeg ikke har fundet mit svar.
Første opgave lyder på at man skal finde nulpunkterne i f(x)=x^4-2x^2+1. Jeg har set på min grafiske lommeregner at nulpunkterne er hhv. 1 og -1. Men det kan jeg ikke få til at passe med nogen som helst metode? (Jeg har prøvet at definere y=x^2 og så at smide x uden for en parantes)
Anden opgave får man at vide at vi har to polynomier p(x)=x^2+x-2 og q(x)=x^4-5x^3-3x^2+17x-10, her oplyses så at rødderne i p også er rødder i q og at man skal finde rødderne.. Men hvordan?
Jeg ville blive meget taknemlig hvis nogen gad at give lidt hjælp til selvhjælp her :)
Jeg sidder her og roder med en matematikaflevering hvor de to første opgaver indeholder fjerdegradspolynomier, og efter en halv times læsning herinde og i min matematikbog må jeg indrømme jeg ikke har fundet mit svar.
Første opgave lyder på at man skal finde nulpunkterne i f(x)=x^4-2x^2+1. Jeg har set på min grafiske lommeregner at nulpunkterne er hhv. 1 og -1. Men det kan jeg ikke få til at passe med nogen som helst metode? (Jeg har prøvet at definere y=x^2 og så at smide x uden for en parantes)
Anden opgave får man at vide at vi har to polynomier p(x)=x^2+x-2 og q(x)=x^4-5x^3-3x^2+17x-10, her oplyses så at rødderne i p også er rødder i q og at man skal finde rødderne.. Men hvordan?
Jeg ville blive meget taknemlig hvis nogen gad at give lidt hjælp til selvhjælp her :)
Svar #1
15. marts 2007 af mathon
x^4-2x^2+1=0 er en kamufleret 2.gradsligning
sæt
z=x^2
(x^2)^2-2x^2+1=0
z^2-2z+1=0, hvoraf z=1
z=x^2=1
x^2=1
x=+/-1
sæt
z=x^2
(x^2)^2-2x^2+1=0
z^2-2z+1=0, hvoraf z=1
z=x^2=1
x^2=1
x=+/-1
Svar #2
15. marts 2007 af eZtaR (Slettet)
Super mange tak for det hurtige svar :) Hvordan gør man så i anden opgave? :)
Svar #3
15. marts 2007 af mathon
x^2+x-2 har rødderne x = 1 og x = -2, hvorfor
x^2+x-2 = (x-1)(x+2).
Da x^4-5x^3-3x^2+17x-10 også har disse rødder er både (x-1) og (x+2) divisor i x^4-5x^3-3x^2+17x-10.
Dermed er (x-1)(x+2)=x^2+x-2 divisor
(x^4-5x^3-3x^2+17x-10)/(x^2+x-2)=x^2-6x+5
eller
x^4-5x^3-3x^2+17x-10=(x-1)(x+2)*(x^2-6x+5)
x^2-6x+5 har rødderne x = 1 og x = 5,
hvoraf
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)
konklusion:
x^4-5x^3-3x^2+17x-10=(x-1)(x+2)(x-1)(x-5)
og
x^4-5x^3-3x^2+17x-10=(x-1)^2(x-5)(x+2),
hvoraf
x^4-5x^3-3x^2+17x-10 har rødderne x = -2, x = 1 og
x = 5
x^2+x-2 = (x-1)(x+2).
Da x^4-5x^3-3x^2+17x-10 også har disse rødder er både (x-1) og (x+2) divisor i x^4-5x^3-3x^2+17x-10.
Dermed er (x-1)(x+2)=x^2+x-2 divisor
(x^4-5x^3-3x^2+17x-10)/(x^2+x-2)=x^2-6x+5
eller
x^4-5x^3-3x^2+17x-10=(x-1)(x+2)*(x^2-6x+5)
x^2-6x+5 har rødderne x = 1 og x = 5,
hvoraf
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)
konklusion:
x^4-5x^3-3x^2+17x-10=(x-1)(x+2)(x-1)(x-5)
og
x^4-5x^3-3x^2+17x-10=(x-1)^2(x-5)(x+2),
hvoraf
x^4-5x^3-3x^2+17x-10 har rødderne x = -2, x = 1 og
x = 5
Skriv et svar til: To Fjerdegradspolynomier
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.