Euler

Er der ingen, der vil være sød at hjælpe?

Ja, sæt vi vil løse differentialligningen y'(x)=y(x)-1 med begyndelsesbetingelsen y(0)=1.

Vi har allerede det første punkt (x_0,y_0)=(0,1) på løsningen. Det næste punkt findes så som



hvor \Delta x er afstanden mellem to efter hinanden følgende x-værdier. Det er i hovedsagen denne \Delta x, der bestemmer, hvor god tilnærmelsen er. Et mindre \Delta x (dvs. en højere opløsning) giver en bedre tilnærmelse.

Generelt skrives Eulers skema som



Lad os igen se på eksemplet fra begyndelsen, hvor vi vælger \Delta x = 0.5. Nu ser Eulers skema ud som følger:



Vi har y_0 = 1. Ud fra dette findes y_1:



På samme måde findes y_2 = 1. Løsninger er altså den funktion, der er konstant 1, y(x)=1.

Dette eksempel var altså ikke så interessant. Det bliver dog en del interessantere, hvis du ændrer begyndelsesbetingelsen til y(0)=0. Prøv selv at beregne en tilnærmet løsning for det nye problem, med y(0)=0. \Delta x vælger du som du vil. Undersøg, hvordan den tilnærmede løsning afhænger af \Delta x.

#2 Tak skal du ha' ! Det var rigtig sødt af dig ;)

Kan det ikke passe, at der findes en opdatering af Eulers metode. Den hedder noget i retning af "Kutta-metoden" ?

Nu er der mange Runge-Kutta metoder. En simpel, der er bedre en Eulers metode, er Runge-Kuttas fjerde ordens metode, se http://en.wikipedia.org/wiki/Runge-kutta . Hvis du kan finde ud af Eulers metode, kan du også finde ud af denne.