Matematik

Lidt akut hjælp til induktionsbevis

20. marts 2007 af lassepil (Slettet)

Jeg kender godt fremgangsmåden til at lave et induktionsbevis, bevis det for n = 1, antag at n gælder, og bevis det så for n+1. Men jeg kan slet ikke komme igang med følgende opgave:

(har skrevet det ind i word og taget et screenshot).
http://img338.imageshack.us/img338/6851/opgaveformvr7.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Jeg ved ikke om du har hørt om diagonalisering ved hjælp af egenværdier. Hvis du har Så gælder det at:

A=Q'DQ => A^n=Q'D^nQ, hvor Q' er den transponerede til Q. Det vil hjælpe dig til at vise det, da matricen ovenfor må have egenværdierne 1 eller 0 hvis ovenstående gælder.

Svar #2
20. marts 2007 af lassepil (Slettet)

Nej har jeg desværre ikke hørt om endnu, er det sådan at du kan gå lidt dybere med det?

Er lidt desperat, for det er en af den slags aflevering som skal bestås, og rygterne siger at vores matematik forelæser forlanger at se et induktionsbevis.

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Hmm... Hvis i ikke har haft diagonalisering, så er det ikke det der fiskes efter. Jeg ved ikke lige hvordan man ellers skal gøre det.

Svar #4
20. marts 2007 af lassepil (Slettet)

jeg kan ikke bare bevise at for alle A^n = A, og så har jeg bevist resten? (idet Xo er defineret så; A * Xo = Xo)

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. marts 2007 af Madsst (Slettet)

Jo, det er netop det du skal. Du skal vise at A^n=A. Men det er jo ikke så lige til... Jeg har aldrig helt forstået induktionsbeviser. Hvornår er det lige man skal stoppe osv. Måske er fint at kigge på:

A*A=A, A*A*A=(A*A)*A=A*A=A A*A*A*A=(A*A)(A*A)=A*A=A og så sige at det er klart at det fortsætter på den måde, men jeg er ikke sikker...

Svar #6
20. marts 2007 af lassepil (Slettet)

Jamen jeg kan faktisk godt få lavet induktionsbeviset.

A * A = A
A * A * A = A
A * A * A * A = A

Så det vi gerne vil bevise er jo om påstanden A^n = A altid holder.

Vi tester for for A = 1.
(gider ikke skrive det, men selvfølgelig passer det).
Vi antager at k = n holder, og ser derfor på om n = k +1 holder.

A^1 * A^2 * A^3 * ,,,, A^n = A

Vi forlænger med den næste n (k+1), på begge sider af lighedstegnet

A^1 * A^2 * A^3 * ,,,, A^k * A^k+1 = A * A^k+1

Nu ser vi at A^1 * A^2 * A^3 * ,,,, A^k * A^k+1 = A^k+2

Dermed at vi bevist at det gælder for k+1 og det må derfor gælde for alle værdier af n.

Tror du ikke det er nok?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Dan udsagnet

p(n) : A^n*x = x

Redegør for at p(1) er sand. Antag p(n) sand, altså at

A^n*x = x

Multiplicer fra venstre med A på begge sider

A*A^n*x = A*x = x (*)

hvor sidste lighed følger af p(1). Genkend (*) som udsagnet p(n+1). Konklusion ved induktionsaxiomet.

Svar #8
20. marts 2007 af lassepil (Slettet)

okay sheaf, jeg er slet ikke med i det du laver.

Hvor er dit induktionbevis for at A*A^n*x=A*x?

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. marts 2007 af sheaf (Slettet)

Induktionsskridtet består i først at antage p(n). Dermed menes, at det antages at

A^n*x = x

Multiplikation på begge sider fra ventsre med A giver

A*A^n*x = Ax

Højresiden er lig x da p(1) forud er vist sand. Altså er

A*A^n*x = A^(n+1)x = x

hvilket netop er udsagnet p(n+1).

Altså, p(n) => p(n+1).

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. marts 2007 af sigmund (Slettet)

Det gælder, at Ax=x. Vis så, A^n*x=x.

Mit bud på en løsning via induktion:

n = 1: Ax=x, hvilket er sandt.

Antag, at A^n*x=x gælder for n=m. Vis så, at det gælder for n=m+1:

A^(m+1)*x=x <=> A^m*A*x=x <=> A^m*x=x, hvilket gælder.

Da udsagnet A^n*x=x gælder for n=1, n=m og n=m+1, konkluderer vi at det gælder for alle naturlige tal n.

PS: Måske var sheafs opstilling i #9 mere elegant.

Skriv et svar til: Lidt akut hjælp til induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.