Matematik

Induktion

11. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvad er matematik induktion og hvordan bruger man det?

Svar #1
11. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Er der ingen, som vil være sød at hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

Det en måde, hvorpå man kan bevise at noget gælder for et variabel n, som tilhører de naturlige tal.
Man starter med at antage at udtrykket er sandt for n. Derefter prøver man om det er sandt for:
- Udtrykket gælder for 1.
- Udtrykket gælder for n + 1.
Hvis de to ovenstående punkter er sande, er det også sandt for n. Dette skyldes at hvis det er sandt for 1, så der det også sandt for 2, hvis det er sandt for 2 er det også sandt for 3 etc.

Man kan tage som eksempel:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Dette er sandt for n = 1:
1 = 1(1+1)/2 = 1
Desuden er det sandt for n + 1
1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)
<=> 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
<=> 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n(n+1)+2(n+1))/2
<=> 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n²+n+2n+2))/2
<=> 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2
<=> 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n+1)((n+1)+1)/2
Hvilket dermed er sandt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#2
PS: Det kaldes et induktionsbevis.

Svar #4
11. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#1 Tak! Men det bruges så også i mange andre sammenhænge?

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#4 Hvordan mener du? At det bruges i andre beviser? I så fald, ja; det var bare et eksempel.

Svar #6
11. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

I Talteorien også?

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#5 I talteori beskæftiger man sig med heltal, så det går jeg da ud fra.

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. april 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#2:
Formuleringen er _ikke_ korrekt! Det er meget vigtigt at pointere, at man først viser induktionsstarten (som oftest for n = 1), og først derefter antager man at det gælder for n = k, og så viser man derudfra at det gælder for n = k+1. Hvis man kunne starte med at antage at det gælder for n = k, var man jo allerede færdig med induktionsstarten inden man begyndte.

#6:
Ja, også i talteori.

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. april 2007 af Darwin (Slettet)

Der er flere former for induktion.

Vi kigger på mængden {0,1,2,3,4,.....}

#2 præsenterer følgende: antag at det første tal, 0, har en given egenskab Q; antag endvidere, at det er sandt for alle tal, at hvis det arbitrære tal n har egenskaben Q da har n+1 egenskaben Q; da følger det at alle tal har Q.

(hvorfor #2 vælger 1 som start-tal vides ikke)

Den mindre kendte:

Antag at, for alle tal, hvis alle tal mindre end det har en given egenskab Q, da har det det også; da følger det at alle tal har den egenskab.

Sidstnævnte er et kærkomment værktøj i deduktiv logik.

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#8 Jeg tror jeg ved hvad du mener, men vil da lige være sikker. Du mener fejlen i formuleringen blot ligger i, at jeg burde angive endnu en variabel? (Resten er jeg med på)

#9 Jeg mener flere steder at have læst, at 1 ofte er start-tallet (som #8 også siger)

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. april 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#10:
Nej, jeg mener at man først viser induktionsstarten og først derefter antager man at det gælder for n = k (det er rækkefølgen, der er vigtig!).

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#11 Ok. Det var det, jeg var med på.

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. april 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#12:
Jamen så tror jeg vi er enige! ;-)

Svar #14
11. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Er der ikke en bog om de bevis-metoder? Så kan jeg jo bare læse den

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. april 2007 af Benjamin. (Slettet)

#13 Ja :-)

#14 Jeg har ikke selv læst den færdig endnu, men jeg vil da foreslå: "Q.E.D. - en introduktion til matematisk bevis" af Jørgen Brandt og Knud Nissen. Du kan sikkert også finde noter og materiale på Internettet, hvis det kun er induktionsbeviset, du er interesseret i.

Brugbart svar (0)

Svar #16
11. april 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#14:
Sæt i gang:

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction

Svar #17
12. april 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#16 Tak

Skriv et svar til: Induktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.