Korrespondance

Du må snart få nogle can. oecon'er til at fatte interesse for siden her; i hvert fald er økonomimatematik tæt på at være en by i Rusland for mig :-)

Dog husker jeg, at en korrespondens f:X->Y mellem to metriske rum X og Y til ethvert x E X tilforordner en delmængde af Y. Så den rette notation må være

f(x) = {1/x} for x!=0
f(x) = {0} for x=0

Du skriver ikke hvordan dine definitioner på øhk og lhk lyder, og det er ikke helt ligegyldigt. Det hænger sammen med om man antager, at billederne under f er kompakte. Når du refererer til konvergente Cauchyfølger kunne det godt tyde på at det er tilfældet.

Ikke desto mindre er de eneste definitioner jeg husker som følger:

ØVRE ORIGINALMÆNGDE:
Den øvre originalmængde til en delmængde O af Y er mængden {x E X|f(x) delmængde af O}

NEDRE ORIGINALMÆNGDE:
Den nedre originalmængde til en delmængde O af Y er mængden {x E X|f(x) n O != Ø}

Kravet om at f(x) ikke snitter tomt med O er langt svagere end inklusion i O. Det betyder, at for enhver delmængde O af billedmængden for f, er øvre originalmængde indeholdt i den nedre.

ØVRE HEMIKONTINUITET:
Korrespondensen f siges at være øvre hemikontinuert hvis øvre originalmængde til enhver åben delmængde O af Y åben.

(tilsvarende for nedre hemikontinuitet).

Intuitivt kan man forestille sig at f er øhk hvis dens graf ikke har nogle "huller" og nhk hvis dens graf ikke har nogle "spring".

Bemærk, at hvis korrespondensen producerer singletons, d.v.s. mængder med netop eet element, så kan den betragtes som en funktion og der er ingen forskel på øvre og nedre originalmængder. Hemikontinuitet er da sammenfaldende med kontinuitet.

Lukket-graf egenskaben husker jeg ikke en disse af, men det kan vel ikke være andet, end at grafen

{(x,y) E X x Y | y E f(x)}

er lukket.

For at vende tilbage til det konkrete tilfælde er det åbenbart at f er lukket, thi X=Y=R og RxR er lukket.

At f ikke er øhk kan f.eks. ses ved at vælge O = ]-1,1[. Så er øvre originalmængde f^(-1)(O) = ]-oo,-1[U{0}U]1,oo[, som ikke er åben ({0} er lukket).

Med hensyn til:

"I øvrigt, er det rigtigt forstået at lukket-graf-egenskaben og øvre hemikontinuitet bare redegør for at korrespondancen F(X) er lukket og begrænset? "

så er forbindelsen nærmere, at HVIS f har lukket-graf egenskaben OG billedet af enhver kompakt mængde er begrænset, SÅ er f øhk. Det er kun i Euklidiske rum, at en mængde er kompakt hviss den er lukket og begrænset.

Det blev en rodet affære. Håber det gavner.

;-) Problemet er at de som er længere henne på uddannelsen lykkeligt har glemt det meste af det her matematik. Samtidig er det nogle valgfag, som ikke ret mange har taget og de jeg har hørt fra synes at det de lærte var ret uforståeligt og ikke særlig anvendeligt. Men jeg skal jo lære det alligevel :-)
I øvrigt synes jeg da du klarer det ret godt, hvis det er en by i Rusland.
Jeg kigger lige ordentligt på det og så kan det være jeg vender tilbage, hvis det giver problemer..
Tak endnu en gang for hjælpen, du er en champ! :-)