Kombinatorik

giver multinomialkoefficienten ikke antallet af permutationer direkte ?

#1 Nej, den mangle den nye rækkefølge på det enkelte objekt..

jeg tror du har misforstået noget...

Der er forskel på kombinationer og permutationer.

En kombination er en uordnet samling af forskellige elementer.

En permutation er en ordnet samling af forskellige elementer.

Givet en mængde S med n forskellige elementer er en k-kombination en delmængde af S med k elementer. Binomialkoefficienten (n,k) angiver antallet af sådanne k-kombinationer.

Eksempel:
---------
S = {1,2,3}

Antallet af delmængder af S bestående af 2 elementer er (3,2) = 3, nemlig

{1,2}, {1,3}, {2,3}

Bemærk at ordningen er ligegyldig; så der skelnes eksempelvis ikke mellem {1,3} og {3,1}.

----------

En multimængde er et matematisk objekt, som minder om en mængde idet det består af en uordnet samling elementer. Men til forskel fra mængder tages der hensyn til multipliciteter. Multimængderne {2,4,6} og {6,4,2} er derfor ens, medens multimængderne {2,2,4,6} og {2,4,6} er forskellige (hvorimod de er ens betragtet som mængder).

I en multimængde bestående af m forskellige elementer, hvert med multiplicitet k_i, 1<=i<=m, er der n=k_1+...+k_m elementer. Antallet af _permutationer_ af disse elementer (d.v.s. antallet af _ordnede_ lister af elementer) er givet ved multinomialkoefficienten (k_1,....,k_m) eller med din skrivemåde: (n,(k_1,...,k_m)).

Eksempel:
---------
S = {A,A,B,B}

Her er m=2, k_1=k_2=2 og dermed n=4. Multinomialkoefficienten (2,2) = (4,(2,2)) = 6, svarnende til at der er 6 permutationer af elementerne i S, nemlig

AABB
ABBA
ABAB
BABA
BAAB
BBAA
---------

I specialtilfældet, hvor m=2 som ovenfor, reducerer multinomialkoefficienten til binomialkoefficienten. For hvis der kun er 2 forskellige elementer ud af ialt n, så må der være k instanser af det ene element og n-k af det andet. Indsættes dette i udtrykket for multinomialkoefficienten vil du se, at binomialkoefficienten fremkommer.

Så i dette specialtilfælde - og kun i dette tilfælde - vil multinomialkoefficienten kunne opfattes som et antal kombinationer, hvor den i almindelighed angiver et antal permutationer.

Udfra ovenstående kan du forhåbentligt se, at den tænkte situation

"Hvad gør man egentlig hvis n> k1+k2+...+kr , gælder reglen så? "

aldrig kan optræde: da der er r forskellige elementer, hvert med multiplicitet k_i, 1<=i<=r, er det samlede antal elementer netop n = k_1+...+k_r; hverken mere eller mindre.