bevis for andengradsligning

Se her:

http://www.matema10k.dk/index.php?id=543

Der findes vist nok flere beviser, men den her er en af de mere håndgribelige:)

ax^2 + bx + c = 0 <=>

4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 <=>

4a^2x^2 + 4abx + 4ac + b^2 = b^2 <=>

4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 – 4ac <=>

4a^2x^2 + 4abx + b^2 = d <=>

(2ax)^2 + 2*2ax*b + b^2 = d

Så bruger vi lige hjælp fra 1. kvadratsætning:

(2ax + b)^2 = d <=>

2ax + b = +/-kvadratrod(d) <=>

2ax = -b +/-kvadratrod(d) <=>

x = (-b +/-kvadratrod(d)) / 2a

Dette bevis kan let laves ved at starte omvende, og så gange ud indtil du har en andengradsligning.

x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
gang med 2a
2ax = -b +/- sqrt(b^2 - 4ac)
læg b til
2ax + b = +/- sqrt(b^2 - 4ac)
opløft det i 2.
(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac
gang ud
4(ax)^2 + b^2 + 4abx = b^2 - 4ac
isolere 0
4*a^2*x^2 + 4abx + 4ac = 0
Divider med 4a
ax^2 + bx + c = 0

Dette er fuldstændig det samme som #2, bare i omvendt rækkefølge. For på denne måde kommer man automatisk frem til resultatet, hvis man simpelt reducere. Og derfor er det lettere at huske. Man skal self stadigvæk fremføre beviset i den rigtige rækkefølge som i #2.

Til svar #2:

Hvorfor er det lige præcis 4a man starter med at gange igennem med?

ax² + bx + c = 0

4a(ax² + bx + c) = 0                         der ganges med 4a som oplæg til kvadratkomplettering

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

(2ax)² + 2*(2ax)*b + 4ac = 0            kvadratomskrivningen er komplet når der adderes b² på begge sider

(2ax)² + 2*(2ax)*b  + b²+ 4ac = b²

(2ax + b)² = b² - 4ac ......

................................................
kvadratkomplettering forudsætter
tre tal:
to kvadrattal samt det dobbelte produkt af kvadrattallenes rødder
kendt som

a² + 2ab + b² = (a+b)²      dvs. 1. kvadratsætning læst "bagfra"

Tak for svar. Jeg forstår dog stadig ikke helt, hvorfor det er lige præcis 4a der ganges med? Og hvorfor lægges diskriminanten bagefter til?

de 4a er forklaret ovenfor

diskriminanten lægges ikke til:
[(2ax)² + 2*(2ax)*b + b²] + 4ac = b²              subtraher 4ac på begge sider

(2ax)² + 2*(2ax)*b + b² = b² - 4ac

(2ax)² + 2*(2ax)*b + b² = d                           men reduktionen GIVER d

(2ax+b)² = d