Matematik
Bevis for løsningsformlen for 2.gradsligning
Sidder og har lidt brug for hjælp til beviset af løsningsformlen for andengradsligninger. Jeg har set beviset før, men forstår det ikke helt.
Derudover har jeg brug for noget hjælp til redegørelse af hvordan man løser andengradsuligheder.
håber nogle kan hjælpe, på forhånd tusind tak!
Svar #1
16. juni 2007 af peberdelfinen (Slettet)
Svar #2
16. juni 2007 af mathon
ax^2 + bx + c = 0
gang igennem med 4a:
4a^a*x^2 + 4ab*x + 4ac = 0...træk 4ac på begge sider
4a^a*x^2 + 4ab*x = -4ac
nu lægger du b^2 til på begge sider
4a^a*x^2 + 4ab*x b^2 = b^2 -4ac, hvoraf
(2ax+b)^2 = d,
som du selv løser færdig........
Svar #3
16. juni 2007 af Esbenps
ax² + bx + c = 0
Vi får den gode ide, at gange med 4a på begge sider:
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
Nu har vi en ustyrlig trang til at lægge b² til på begge sider:
4a²x² + b² + 4abx + 4ac = b²
Vi opdager nu til vores begejstrelse, at
4a²x² + b² + 4abx kan omskrives til (2ax+b)² vha. vores kvadratsætninger:
(2ax+b)² + 4ac = b²
Vi trækker 4ac fra på begge sider og beslutter os for, at kalde b²-4ac for d:
(2ax+b)² = b² - 4ac = d
OK, vi ser nu, at hvis d er lig 0, så er der kun én løsning, nemlig at
2ax+b=0 <=> x = -b/(2a)
Vi ser, at hvis d er negativ, så har vi ingen løsninger, da kvadratet på et tal ((2ax+b)²) aldrig kan blive negativt.
Vi lægger desuden mærke til, at hvis d er positiv, så tager vi kvadratroden på begge sider og opnår:
(2ax+b)² = d <=>
2ax + b = +-sqrt(d) <=>
Svar #4
16. juni 2007 af mag_luca (Slettet)
Nogle af jer der kender til løsning af andengradsuligheder?
Svar #5
16. juni 2007 af tdb (Slettet)
Er det nødvendigt at fortælle det til eksamen eller skal man bare sige at man får lyst til det?
Svar #6
16. juni 2007 af Esbenps
Herefter ser man på, hvordan parablen ser ud, hvilket så kan give en løsningen.
Eksempel:
x² - 9 > 0
Vi starter med at se på x² - 9 = 0. Vi har løsningerne 3 og -3. Det betyder, at parablen skærer x-aksen ved x = 3 og x = -3.
Tegner vi herefter parablen kan vi se, at den er med grenene opad (glad parabel).
OK, vi ser nu på uligheden: x² - 9 > 0. Vi "bliver bedt om" at finde de steder, hvor den er positiv (større end 0). Vi har allerede tegnet parablen og kan se, at den ligger OVER x-aksen (positiv) til venstre for den ene rod og højre for den anden. Den er negativ (under x-aksen) mellem de to rødder.
Vi har allerede fundet rødderne til x = -3 og x = 3. Vi kan nu konkludere, at grafen ligger OVER x-aksen i intervallerne ]-oo;-3[ og ]3;oo[.
Bemærk iøvrigt, at vi kun blev bedt om at finde de steder, hvor den er positiv. Derfor skal -3 og 3 IKKE med i intervallerne.
Havde det været x² - 9 >= 0, så skulle intervallerne have været ]-oo;-3] og [3;oo[; dvs. MED -3 og 3.
Håber det giver mening...
Svar #7
16. juni 2007 af Esbenps
Det er helt iorden at sige, at det er nyttigt eller at man får lyst til det. Grunden til man gør det, er simpelthen at man håber på, man på den måde kan omskrive det hele til en simplere metode, hvilket jo lykkes, idet vi finder vores løsningsformel...
Svar #8
16. juni 2007 af mag_luca (Slettet)
- det var meget tydeligt og overskueligt
Svar #10
20. maj 2011 af HelenaBach (Slettet)
Hej Esbenps. Du er sku dejlig. Jeg sidder her og nyder godt af dit smukke bevis. Der er dog en ting du må forklare mig. Hvad er det matematiske argument for at du skriver +- foran kvadratrod d? Jeg tænker at det er noget med at du først sætter leddet på venstresiden i anden og derefter tager kvadratroden at leddet og derfor får den nummeriske værdi?
Jeg håber at du har tid til at hjælpe.
Skriv et svar til: Bevis for løsningsformlen for 2.gradsligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.