Korrespondance

Jeg prøver lige det her link istedet:
http://www.econ.ku.dk/polit/studerende/eksamen/opgrv/default.asp?del=2år&fag_id=94&fagnavn=Videregående%20Matematik
Det er opgaven fra 2003 sommer.

Det her link: http://www.econ.ku.dk/polit/studerende/eksamen/opgrv/
I "fag på 2. år" -> videregående matematik ->opgaven 2003 sommer, opgave 2.7. Undskyld rodet!

Lukket-graf egenskaben berørte vi sidst i tråden:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=332192

Som nævnt der siges korrespondensen F at have lukket-graf egenskaben hvis dens graf er en lukket mængde.

Hvad betyder det, at en mængde i et metrisk rum er lukket? Det betyder, at ethvert af mængdens grænsepunkter ligger i mængden.

F har derfor lukket-graf egenskaben, hvis det for enhver konvergent følge (x_n,y_n) med grænsepunkt (x,y), og hvor y_n E F(x_n) gælder, at y E F(x).

Ideen er nu først at konstruere en konvergent følge (x_n) med grænsepunkt lig x = 1. Dernæst konstrueres en anden konvergent følge (y_n) med grænsepunkt y hvor vel at mærke ethvert y_n E F(x_n). Hvis vi kan konstruere denne anden følge således at y ikke tilhører F(x)=F(1), så har F ikke lukket-graf egenskaben.

Den første følge vælger vi altså som (x_n) konvergent med grænsepunkt x = 1. Ved yderligere at kræve at x_n < 1 for alle n E N må vi åbenbart have at F(x_n) = {(0,0)} for alle n. Bemærk at korrespondensen af grænsepunktet x=1 er mængden S_1.

Vi skal nu konstruere den anden følge (y_n) sådan at ethvert y_n E F(x_n). Men F(x_n) er jo {(0,0)} for alle n, så derfor kan vi vælge følgen (y_n) = ((y_n1,y_n2)) = ((0,0)) for alle n. Denne følge er åbenbart konvergent med grænsepunkt y = (0,0).

Og så har vi balladen for (0,0) = y !E F(x) = S_1, hvor jeg med tegnet !E mener "tilhører ikke".

Håber det hjalp, ellers spørg igen.

Det blev det lidt klarere af, men jeg forstår det nu stadig ikke rigtigt.
Man kan vælge en følge x_n -> 1 med x_n<1, sådan at denne bliver afbilledet i (0,0). Samtidig kan man vælge netop at tage billedet af 1, som bliver cirklen med radius 1. Det vil sige at grafen 'springer' netop i 1? Men så vælger man en ny følge og der står jeg lidt af. Hvorfor har denne følge to koordinater? Er det ikke billedet af følgen man tager? Det ville være super om du kunne skære det sidste endnu mere ud af pap. Jeg tror måske jeg er lidt mængdeblind ;S

Samtidig ville det være fedt hvis du kunne forklare mig hvorfor mængden K(r) er kompakt, men ikke mængden B, i opgave 2.1, eksamensopgaven 2004 på http://www.econ.ku.dk/polit/studerende/eksamen/opgrv/.
Min tanke ville nemlig være at den største at supremum (hvis man kan sige det) af mængderne K(r) skulle være lig B.

Og tak for hjælpen endnu en gang i øvrigt!

Som nævnt skal følgen (y_n) have elementer i F(x_n). Men F(x_n) er jo et element i R^2 uanset hvad x_n er. Det fremgår af definitionen på korrespondancen. Derfor må følgen (y_n) nødvendigvis have formen ((y_n1,y_n2)).

Grafen for F er mængden

G = {(x,y) E R x (RxR) | y E F(x)} =

{(x,(y1,y2)) E Rx(RxR) | (y1,y2) E F(x)}

Det er ikke anderledes for denne mængde end for alle andre: hvis den indeholder ethvert af sine grænsepunkter er den lukket. Hvad vil det sige at et punkt a i et metrisk rum M er et grænsepunkt? Det vil sige, at der findes en konvergent følge i M/{a} med a som grænseværdi.

Altså: grafen for F er lukket såfremt der for ethvert punkt (x,y) = (x,(y1,y2)) i G findes en følge ((x_n),(y_n1,y_n2)) med (x,(y1,y2)) som grænseværdi. Og yderligere skal man selvfølgelig kræve at (y_n1,y_n2) E F(x_n) og at y = (y1,y2) E F(x), for ellers er hverken følgens elementer ((x_n),(y_n1,y_n2)) jo elementer i G.

Så vi konstrurer en følge (x_n) med grænseværdi 1 men F(x_n) = {(0,0)}. Så skal vi konstruere en følge (y_n) = ((y_n1,y_n2)) sådan at ethvert af følgens elementer y_n = (y_n1,y_n2) E F(x_n) = {(0,0)}. Så den følger bliver automatisk ((0,0)) som er konvergent med grænseværdi (0,0). Men dette grænsepunkt skal ligge i korrespondensbilledet af grænsepunktet for følgen (x_n), hvilket er F(1)=S_1. Og det gør det ikke.

Hvad angår det andet spørgsmål erindres om, at delmælngder af R^n er kompakte hviss de er lukkede og begrænsede. K(r) er for ethvert r det direkte produkt af to lukkede og begrænsede delmængder af R (lukkede intervaller) og derfor er K(r) lukket og begrænset og derfor kompakt.

Foreningen af K(r) for _alle_ r>0 er ikke begrænset for der findes ingen kugle med endelig radius som indeholder denne forening, derfor er denne mængde ikke kompakt.

Ahh, det forstod jeg faktisk. Mange tak! Det var en super stor hjælp!