Matematik
R\Q
Proof: Suppose pi = p / q, where p and q are integers. Consider the
functions f_n(x) defined on [0, pi] by
f_n(x) = q^n x^n (pi - x)^n / n! = x^n (p - q x)^n / n!
Clearly f_n(0) = f_n(pi) = 0 for all n. Let f_n[m](x) denote the m-th
derivative of f_n(x).
-- Det har jeg forstået, men jeg forstår ikke det nedenstående. Hvad sker der ? --
Note that
f_n[m](0) = - f_n[m](pi) = 0 for m <= n or for m > 2n; otherwise some integer
max f_n(x) = f_n(pi/2) = q^n (pi/2)^(2n) / n!
By repeatedly applying integration by parts, the definite integrals of
the functions f_n(x) sin x can be seen to have integer values. But
f_n(x) sin x are strictly positive, except for the two points 0 and
pi, and these functions are bounded above by 1 / pi for all
sufficiently large n. Thus for a large value of n, the definite
integral of f_n sin x is some value strictly between 0 and 1, a
contradiction.
Svar #2
25. juli 2007 af sheaf (Slettet)
idet så F + F'' = f. Sammenholdt med bemærkningerne om at for 0= n (hvilket følger af, at f er et polynomie med heltallige koefficienter pånær faktoren 1/n! som forsvinder for afledede af orden n og opefter) konkluderes at det bestemte integral
er et heltal.
Af vurderingen gældende for 0<=x<=pi
0 <= f_n(x) <= q^n(pi/2)^(2n)/n!
0 <= sin(x) <= 1
følger imidlertid, at for tilstrækkeligt stort n vil produktet kunne vurderes som
0<= f_n(x)sin(x) < 1/pi
hvorfor det bestemte integral af f_n(x)sin(x) fra 0 til pi må ligge i intervallet [0,1[ og derfor ikke kan være et heltal.
Antagelsen om at pi kan skrives som en uforkortelig brøk p/q fører derfor til en modstrid.
For det tilfælde at foraet skulle ødelægge LaTeX'en følger ovenstående formler i rå form:
F_{n}(x) = \sum_{m=0}^{n}(-1)^{m}f_{n}^{(2m)}(x)
\int_{0}^{\pi}f_{n}(x)\sin(x)dx = \int_{0}^{\pi}d(F_{n}^{\prime}(x)\sin(x)-F_{n}(x)\cos(x))
Svar #3
25. juli 2007 af sheaf (Slettet)
Svar #5
27. juli 2007 af stræber-pigen (Slettet)
Svar #9
28. juli 2007 af stræber-pigen (Slettet)
Skriv et svar til: R\Q
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.