Polynomier

Det følger af fremgnagsmåden i #1 i tråden:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=374801

#1
Jeg forstår det intuitivt. Vil du give et konkret eksempel på brugen af

p(x0) = p'(x0) =...=p^(m-1) (x0) = 0.

Den giver bl.a. et alternativ til bestemmelse af koefficienter i et polynomium med forelagte egenskaber. Find f.eks. koefficienterne a,b,c,d i et trediegrads polynomium med enkeltrod x=1 og dobbeltrod x=2.

p(1) = a+b+c+d = 0
p(2) = 8a+4b+2c+d = 0
p'(2) = 12a+8b+c=0
p''(2) = 12a+4b=0

hvor p(x)=ax³+bx²+cx+d og hvor der tages forbehold for regnefejl ovenfor. Metoden er et alterntiv til at give sig til at gange (x-1)(x-2)² ud.

I praksis udnyttes forholdet i numeriske rodsøgningsalgoritmer. Ordinære metoder som forlader sig på Newtoniterationer såsom Bairstow's Lin's og Muller's metoder har alle besvær med at detektere multiple rødder. Årsagen er at den afledede af det oprindelige polynomium har samme rod blot med orden reduceret med en. Det afstedkommer patalogiske tilfælde i den kurvetilpasning der ligger til grund for metoderne.

Problemet kan vendes til lsøning. Hvis et polynomium p(x) har multiple rødder har p'(x) også disse rødder men ingen af p's simple rødder [fordi rødderne i p'(x) svarer til lokale ekstrema i p(x)]. Man kan bruge det til at konstruere en algoritme hvor man successivt dividerer p med p', p' med p'' o.s.v. og fjerner hver nyfunden rod for at søge videre i divisionsresten.

#3 Tak, det hjalp med noget perspektivering.

Er Eisensteins irreducibilitetskriterium svært at bevise ? (Har du noget om det, eller skal jeg opgive det)

Hvorvidt ting er vanskelige eller ej afhænger af den enkelte. Bevisteknisk er det ukompliceret. Prøv at google nogle beviser og se om du har forudsætningene.

#5 Hvordan bevises det i filen?

http://www.peecee.dk/index.php?lid=1&aid=1&pid=2&loadid=61624