Differentialligning - fordampning

Opgaven handler om ændringshastigheden og ikke om hastigheden. Dvs. at det er en anden ordens differentiallignig.

Det ved jeg ikke om jeg er helt med på?

Har du et bud på hvordan man så gør?

Opgaven står i afdelingen i bogen der drejer sig om
1. ordens differentialligninger,
og anden-ordens-differentialligninger
er slet ikke blevet gennemgået endnu.
Altså: opgaven er blandt de opgaver der hører til
afsnittet der kun vedrører 1. ordens differentialligninger.

Ændringshasstigheden eller væksthastigheden er vel et andet
ord for differentialkvotienten. Altså af første orden.

Nå ja, du har naturligvis ret.

dR/dt = c*4*pi*R^2 (her er c lig (din) -k)

Vi har til t = 0 at væksthastigheden er -0.001 samt R = 5mm = 0.005 m

Med andre ord er

-0.001 = c*4*pi*(0.005)^2, hvoraf c let bestemmes.

Når du løser differentialligningen skulle løsningen gerne blive

-1/R = c*4*pi*t + c1 (husk vi kender c nu)

Nu kan du bruge at til t = 0 så er R = 0.005

Altså at

-1/0.005 = c1

Opstil endeligt R(t)

Tak piper!


Jeg lader altså funktionen R(t) beskrive radius af dråben til tiden t.

Da R aftager antager jeg at dR/dt må være negativ.

Da overfladen af en kugleformet dråbe er givet ved 4*pi*r^2, fås:


dR/dt = k*4*pi*r^2 , (k er proportionalitetskonstant, med k<0)


Så er dette faktisk svaret på spm a)

# # # # # # # # # # # #


Da radius til tiden t=0 er 5mm og
væksthastigheden til dette tidspunkt er
-0,001.

Kan vi skrive

-0.001 = k*4*pi*5^2

<=>

k = 4*pi*5^2/-0,001

<=>

k = -pi/10


# # # # # # # # # # #


Løser nu differentialligningen vha separation af variable


dR/dt = k*4*pi*r^2

<=>

S(1/r^2)dR = S(k*4*pi)dt

<=>

-1/R = 4*k*pi*t + c

<=>

R(t) = 1/(4*k*pi*t + c)


&&&&&&&&&&


Bestemmelse af c:

(vi ved: for t=0 er R = 5 mm)


-1/R = 4*k*pi*t + c

<=>

-1/5 = 4*(-pi/10)*pi*0 + c

<=>

c = -1/5

Dvs. c = -0,2


Således er


R(t) = -1/(4*k*pi*t + c)

<=>

R(t) = -1/(4*(-pi/10)*pi*t - 0,2)

<=>

R(t) = -1/(-0,4*pi^2*t - 0,2)

<=>

R(t) = 1/(0,4*pi^2*t + 0,2)


--------


Da R(t) -> 0 for t-> uendelig,

vil dråben først efter lang tids forløb være blevet meget lille.

Det ser ud som om, du har godt fat i det. Der er dog enkelte tastefejl, som du senere har skrevet korrekt op. Dog skriver du:

"Kan vi skrive

-0.001 = k*4*pi*5^2

<=>

k = 4*pi*5^2/-0,001"

Men her er k = -0,001/4*pi*5^2 (småting) :)

Desuden skriver du:

"-1/R = 4*k*pi*t + c

<=>

R(t) = 1/(4*k*pi*t + c) "

Men det du mener er vel R(t) = -1/(4*k*pi*t + c)? Det skriver du i hvert fald senere.


DIN FREMGANGSMÅDE ER I HVERT FALD RIGTIG.

Tak igen piper

Jeg var vist lidt træt da jeg lavede det.

Her er rettelserne, hvor jeg også har ændret til
det du i første omgang gjorde med de 5 mm (= 0,005 m)

---

Jeg lader altså funktionen R(t) beskrive radius af dråben til tiden t.

Da R aftager antager jeg at dR/dt må være negativ.

Da overfladen af en kugleformet dråbe er givet ved 4*pi*r^2, fås:


dR/dt = k*4*pi*r^2 , (k er proportionalitetskonstant, med k<0)


Så er dette faktisk svaret på spm a)

# # # # # # # # # # # #


Da radius til tiden t=0 er 5mm (= 0,005 m) og
væksthastigheden til dette tidspunkt er
-0,001.

Kan vi skrive

-0.001 = k*4*pi*(0,005^2)

<=>

k = -0,001/(4*pi*0,000025)

<=>

k = -10/pi


# # # # # # # # # # #


Løser nu differentialligningen vha separation af variable


dR/dt = k*4*pi*r^2

<=>

S(1/r^2)dR = S(k*4*pi)dt

<=>

-1/R = 4*k*pi*t + c

<=>

R(t) = -1/(4*k*pi*t + c)


&&&&&&&&&&


Bestemmelse af c:

(vi ved: for t=0 er R = 5 mm)


-1/R = 4*k*pi*t + c

<=>

-1/5 = 4*(-10/pi)*pi*0 + c

<=>

c = -1/5

Dvs. c = -0,2


Således er


R(t) = -1/(4*k*pi*t + c)

<=>

R(t) = -1/(4*(-10/pi)*pi*t - 0,2)

<=>

R(t) = -1/(-40*t - 0,2)

<=>

R(t) = 1/(40*t + 0,2)


--------


Da R(t) -> 0 for t-> uendelig,

vil dråben først efter lang tids forløb være blevet meget lille.

k = -10/pi (JA!)

Husk du regnede i meter da du bestemte k, så det spor skal du blive i) ;). Det resulterer i noget bøvl med bestemmelse af c nemlig.

Efter seperation af de var. samt integration fås rigtigt at

-1/R = 4*k*pi*t + c

Da der til t = 0 gælder R = 0.005 m fås at

-1/0.005 = 4*(-10/pi)*pi*0 + c

Altså er c = -200.

Endelig fås at

R(t) = -1/(4*k*pi*t + c) = -1/(4*((-10)/pi))*pi*t-200) = -1/(-40*t-200) = = -1/((-1)*(40t+200)) = 1/(40*t+200)


Og din supplerende bemærkning er bare helt fin.

Ellers er der bare at sige, at det var småting, men det er nu også alligevel rart at få på plads. Nydelig løsning ellers.

God weekend.