Topologi

De eneste mængder der er åbnede og lukkede på een gang er den tomme mængde og R^n.

At være åben og lukket er ikke modsætninger, men definitionerne kræver, at man kan forstå kvantorudtryk. Det ved jeg ikke, om du har beskæftiget dig med endnu(?)

#1 Jo, man udleder det måske den vej?

Det er klart at R^n er en åben mængde fordi uanset hvilket punkt du kommer med i mængden findes der er et r > 0, så du kan indeholde en "kugle" med den radius i mængden(I R^2 ville det være en cirkel i R^3 en kugle fx.). (Det er det def. siger) Men det er også let at overbevise sig selv om Ø er åben, for det gælder også for alle punkter i denne mængde (der er jo ingen). Man siger at en mængde er lukket, hvis komplementærmængden af åben. Da R^n og Ø er hinandens komplementærmængder er de altså også lukkede.

Nu er R^n og Ø altså både åbnede og lukkede, men dermed er der intet sagt om, at de er de eneste mængder med disse egenskaber. At de er det kræver bevis.

Altså en "kugle" om det punkt man tog fat i....

At fastlægge en topologi på en mængde består i at identificere hvilke mængder der er åbne. Topologibegrebet er netop indført for at slippe for afhængigheden af afstandsbegrebet i metriske rum således som antydet i #3.

Given en mængde A kaldes en familie M af delmængder af A for en topologi hvis

a) både Ø og A er elementer i M
b) enhver forening af elementer i M er et element i M
c) snittet af endeligt mange elementer af M er et element i M

og elementerne i M kaldes de åbne mængder. Deres komplementer kaldes lukkede mængder. Af (a) følger at både Ø og A er åbne. Af C(C(Ø)) = C(A) = Ø følger at Ø og A begge er lukkede.

I en sammenhængende mængde som A = R^(n) er Ø og A de eneste mængder, der er både åbne og lukkede.

#5 Hvad er metriske rum egentlig? Jeg har hørt det før..

Et metrisk rum er en mængde M forsynet med en metrik. En metrik er en afbildning d:MxM -> R som ikke antager negative værdier, opfylder trekantsuligheden, er symmetrisk og som er identisk nul hviss argumenterne er ens. Metrikken tilvejebringer et mål for "afstande" i M.

En delmængde af et metrisk rum siges at være åben hvis den er en forening af åbne kugler. En åben kugle K(x,r), som der referes til i #3 og #4, er delmængden

K(x,r) = {y E M | d(x,y) < r}, r > 0

altså mængden af elementer y hvis afstand fra x er mindre end r.

Sammenlign med definitionen på en topologi i #5. De åbne kugler ses at frembringe en topologi på M. Ethvert metrisk rum er derfor også et topologisk rum. Det omvendte gælder ikke.

#3 "Nu er R^n og Ø altså både åbnede og lukkede, men dermed er der intet sagt om, at de er de eneste mængder med disse egenskaber. At de er det kræver bevis."

#3 & #5 Hvordan bevises ovenstående? (altså den sidste del af det)

Beviset kan udføres som følgende opgave.

Lad X være en delmængde indeholdt i R^n, der både er åben og lukket, og lad os give et indirekte bevis for, at der enten gælder X = R^n eller X = Ø. Antag altså, at X er forskellig fra R^n og X er forskellig fra Ø.

Det handler altså om at vise, at antagelsen fører til modstrid (indirekte/modstridsbevis).

(a) Sæt Y=R^n\X og vis at Y er både åben og lukket og ikke tom.

(b) Lad d: R^n -> R være def. ved

f(x) = 1 for x indeholdt i X og f(x) = 0 for x indeholdt i y. Bevis at f er kontinuert i ethvert punkt x0 i X.

(Her kan man bruge at X er åben)

(c) Bevis også, at f er kontinuert i ethvert punkt y0 i Y.

(d) Lad nu a være et element i X og b være et element i Y samt funktionen være defineret ved

g(t) = f(t*a+(1-t)*b)

Bevis at g er kontinuert i ethvert punkt t0 i R.

(e) Vis at g(0) = 0 og g(1) = 1 samt at g kun antager værdierne 0 og 1 og udled en modstrid heraf.


Hvis du kender mellemværdisætningen der siger at hvis en funktion f : [a, b] -> R er kontinuert og d er et reelt tal mellem f(a) og f(b), så findes der et tal c i ]a, b[ så f(c) = d.

Når man udleder modstriden når man altså frem til at mellemværdisætningen ikke er opfyldt. Der må altså være noget galt med antagelse (Husk :"Antag altså, at X er forskellig fra R^n og X er forskellig fra Ø")

Det må altså gælde at X = R^n eller X = Ø. (Husk vi ved at R^n og Ø jo er åbnede og lukkede).