Matematik

Taylor-polynomie

07. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

Jeg er givet et udtryk: E(v) = (m*c^2)/sqrt(1-v^2/c^2).

Jeg har fundet T_2_E, som er Taylor-polynomiet af anden grad omkring punktet v=0:

T_2_E = mc^2+½mv^2.

Jeg skal vise via Taylors formel med restled, at E(v) >=
T_2_E(v) for alle v i intervallet [0;c[:

E(v) = T_2_E + 1/2! * int[E'''(t)*(v-t)^2] dt.

Dette får jeg til

E(v) = T_2_E(v) + ½*[E''(t)*(v-t)^2] + [E'(t)*(v-t)] + [E(t)] for grænserne 0 til v.

Men for indsættelse af v bliver mit restled negativt, hvorfor E ikke er større eller lig med? - Medmindre jeg har gjort det forkert.

Svar #1
07. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

Umiddelbart vil man kunne se, at restleddet bliver negativt, idet "(v-t)"-leddene giver 0 ved indsættelse af v.

Evt. kunne man vel også bare betragte E'''(t) og (v-t), som ikke giver negative værdier for v = [0;c)?

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. oktober 2007 af sheaf (Slettet)

Hvor er førstegradsleddet i det approksimerende Taylorpolynomie af højst anden grad blevet af?

Svar #3
07. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

Det går ud. Mit Taylor-polynomium, T_2_E, er helt korrekt.

Det er mit restled, der har gået mig på hele dagen!

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. oktober 2007 af peter lind

Jeg kan slet ikke se hvordan, der kan komme et minustegn ind. Du kan komme til at differentier v i en eller anden potens, hvilket ikke ændrer på noget fortegn. Desuden kan du komme til at differentier et udtryk af formen (1-v^2/c^2)^p hvor p < 0 og halvtallig. En differention af dette giver p(1-v^2/c^2)^(p-1)*(-2v/c^2). Her går de 2 minustegn ud mod hinanden, så alle led skulle blive positive (bortset fra at v kan være negativ).

Svar #5
07. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

Jeg har skrevet formlen for et Taylor-polynomium op med restled - derfra stammer minus-tegnene (jeg går udfra, du mener (v-t)).

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. oktober 2007 af sheaf (Slettet)

#3
Jaså. Givet funktionen

E(v) = mc^2/(sqrt(1-v^2/c^2))

er da ellers

E^(n)(0) = (2n-1)/(2c^2)E^(n-1)(0), n >= 1

Dermed er

E(0) = mc^2, E'(0) = m/2, E''(0) = 3m/(4c^2)

og det approksimenrende polynomie af højst anden grad om v=0 er

P_2(x) = mc^2 + ½mv + 3m/(8c^2)v^2

Er du sikker på, du ikke mener det approksimerende polynomie af højest første grad?

Hvad angår restleddet kan du slippe af med integralet ved at omskrive det på Cauchy-form via middelværdisætningen.

Svar #7
08. oktober 2007 af Søren_B (Slettet)

#6

Hmm, jeg har benyttet T_2_E(v) = E(0) + E'(0)*(v-0) + ½E''(v)(v-0)^2

Dette bliver mc^2 + ½mv^2

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. oktober 2007 af sheaf (Slettet)

#6
Ja, det er korrekt, indlæg #6 gemmer på en differentiationsfejl.

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. oktober 2007 af peter lind

Jeg kan stadig ikke se hvor minustegnet kommer fra; men jeg har fundet en metode, som gør det lidt lettere at beregne. Sæt u = v^2/c^2, så skal du rækkeudvikle funktionen f(u) =(1-u)^(-½). Simpel differentiation giver:

f'(u) = ½(1-u)^(-3/2)
f''(u) = 1½(1-u)^(-5/2)
Taylorrækken til første orden giver

f(u) ca.= f(0) +f'(0)u = 1 + ½u, hvilket svarer til dit resultat idet
mc^2*f(u) ca.= mc^2 +½mc^2u = mc^2 + ½mc^2v^2/c^2 = mc^2 + ½mv^2

Restleddet bliver

mc^2*f''(um)*u^2, hvor um er et tal i intervallet [0,u]

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. oktober 2007 af sheaf (Slettet)

Da ifølge Taylors sætning

mc²/sqrt(1-v²/c²) = mc² + ½mv² + R_3

hvor R_3 er restleddet på din foretrukne form, indebærer uligheden

mc²/sqrt(1-v²/c²) >= mc² + ½mv²

blot at du skal vise, at restleddet er positivt eller nul for enhver værdi af v i intervallet [0,c[. Minustegnet i restleddet skyldes at det er restleddet på integralform.

Skriv et svar til: Taylor-polynomie

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.