Matematik

matrice-egenvektor.

20. oktober 2007 af ASLAK (Slettet)

Hejsa..sidder med et problem i følgende opgave:

Jeg har givet en 4x4 matrice A og vektorerne v1 og v2, og jeg skal vise at v1 og v2 er egenvektorer for A og bestemme de tilhørende egenværdier.

Jeg har fået vist at v2 er egenvektor for A, og bestemt den tilhørende egenværdi til 2, men så opstår problemet med v1. Når jeg siger A*v1 får jeg (0,0,0,0) ??? Hvinken egenværdi har den ?????..Forstår det virkelig ikke!!!

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2007 af piper (Slettet)

Det kan du gøre ud fra definitionen på egenvektorer:

Lad A være en kvadratisk matrix. Tallet t kaldes en egenværdi for A,
hvis der findes en vektor v forskkelig fra 0, så
Av = tv

Udregn Av og bestem t så ovenstående lighed er opfyldt.

Hvis du vil have hjælp med den konkrete opgave må vise den.

Svar #2
20. oktober 2007 af ASLAK (Slettet)

okay.

Altsaa matricen A er givet ved:

A= [[-4,0,0,0],[1,2,-2,-2],[-1,-4,-2,0],[1,2,-2,-2]]

og v1=[0,1,-2,3]

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2007 af peter lind

Hvis A*v2 = 0 har du jo A*v2 = 0*v2. 0 er altså egenværdien.

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. oktober 2007 af Esbenps

Den matrix, som du nævner i #2 har egenværdierne -4, -4, 0 og 2, så det passer jo fint.

De tilhørende egenvektorer er

Ev1 = (2,0,1,0); Ev2 = (-4,1,0,1); Ev3 = (0,1,-2,3); Ev4 = (0,1,-1,1);

Kalder vi matricen A, så har du, at

A*Ev1 = (-8,0,-4,0) = -4*Ev1

A*Ev2 = (16,-4,0,-4) = -4*Ev2

A*Ev3 = (0,0,0,0) = 0*Ev3

A*Ev4 = (0,2,-2,2) = 2*Ev4

Svar #5
20. oktober 2007 af ASLAK (Slettet)

okay forstaar det nu..tak for hjaelpen.

I samme opgave skal man ogsaa svare paa foelgende:

- Undersoeg, om A kan diagonaliseres. Anfoer i bekraeftende fald en diagonalmatrix D og en diagonaliserende matrix P,saa A=PDP^-1

Er der nogle som kan forklare mig hvordan man griber opgaven an?????

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. oktober 2007 af Esbenps

I dit tilfælde har din n x n-matrix præcis n egenværdier, hvilket betyder, at den er diagonaliserbar. Diagonalmatricen D bliver så bare egenværdierne i diagonalen. Den diagonaliserende matrix P er så bare en matrix, som har egenvektorerne som kolonner. Husk at egenvektorerne skal placeres som kolonner i samme rækkefølge som egenværdierne skal sættes i diagonalen på diagonalmatricen.

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. oktober 2007 af Esbenps

Hov, en lille fejl i #6. Første sætning skal være: "I dit tilfælde har din n x n-matrix præcis n egenVEKTORER..."

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. oktober 2007 af Esbenps

Hvis en n x n-matrix har n diskrete egenværdier, så kan den diagonaliseres. Hvis ikke det er tilfældet (som her, hvor vi har -4 to gange), så er den kun diagonaliserbar, hvis den geometriske multiplicitet er lig den algebraiske multiplicitet for den egenværdi, som er dobbelt, da man ellers ikke kan opnå n egenvektorer...

Svar #9
22. oktober 2007 af ASLAK (Slettet)

Okay er nogenlunde med, men hvordan er du nået frem til følgende:

Ev1 = (2,0,1,0); Ev2 = (-4,1,0,1)

-da vi jo ikke har fået følgende opgivet. Vi har kun fået opgivet Ev3 = (0,1,-2,3) OG Ev4 = (0,1,-1,1).

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. oktober 2007 af Esbenps

På sædvanlig måde, når man bestemmer egenvektorer.

Løsning af ligningen det(A - lambda*I) = 0 giver egenværdierne.

Bestemmelsen af nulrummet for matricen A - lambda(j)*I (j € [1;4], hvor lambda(j) er den j'te egenværdi) giver egenvektorerne. Egenvektorerne er den/de vektor(er) som udspænder nulrummet for matricen A - lambda(j)*I.

Skriv et svar til: matrice-egenvektor.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.