Matematik

Divergence af et vektorfelt

22. oktober 2007 af pa8n (Slettet)

Jeg skal finde et flade-integral af
SS F*NdS over et felt E.
F(x,y,z) = x i + e^y j + yz k
og E er enhedsterningen, hvor 0<=x<=1, 0<=y<=1,0<=z<=1.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2007 af Esbenps

Jeg ville bruge divergensteoremet, som siger, at

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. oktober 2007 af Euler (Slettet)

Det følger jo direkte af "Gauss' Divergence Theorem".

Dit flade-integral er over §E (hvor § er et krøllet d), ikke E. Læg mærke til, hvor jeg bruger §E og E.
SS(§E) F * N dS = SSS(E) divF dV = SSS(E) §x/§x + §(e^y)/§y + §(yz)/§z dV
= SSS(E) 1 + e^y + y dV = S(0;1)S(0;1)S(0;1) 1 + e^y + y dzdydx
= S(0;1)S(0;1) 1 + e^y + y dydx = S(0;1) [y + e^y + 0,5y^2](0 til 1) dx
= S(0;1) [1 + e + 0,5 - e] dx = S(0;1) 1,5 dx = 1,5.

Svar #3
22. oktober 2007 af pa8n (Slettet)

ja okaay, men hvorfor bruger du lige Gauss teorem og ikke Stokes?

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. oktober 2007 af Esbenps

Fordi Stokes' teorem drejer sig om overfladeintegraler, som kan udregnes, som et lukket integral omkring randen af fladen.

Divergensteoremet drejer sig om fladeintegraler, som indeslutter et volumen.

I det her problem er der ingen rand, som omkranser fladen, og Stokes' teorem kan ikke bruges. Der er derimod en flade som omkranser et volumen...

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. oktober 2007 af Euler (Slettet)

Både Stokes' og Gauss' teoremer er tre-dimensionelle generaliseringer af Green's teorem. Curl af et vektorfelt i planet giver et skalarfelt, mens curl af et vektorfelt i rummet giver et andet vektorfelt. Div er derimod i begge tilfælde et skalar.

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. oktober 2007 af sheaf (Slettet)

Omvendt. Stokes' sætning er den alle øvrige sætninger, såsom Gauss' og Green's, udspringer af. De fleste studerende støder formodentligt kun på Stokes's sætning formuleret for vektorfelter i Euklidiske rum. Imidlertid er den langt mere generel end som så. Den gælder for differentiable n-former på orienterede, glatte mangfoldigheder. Specialtilfældende opstår for 1-former (som blot er covariante vektorfelter) i Euklidiske rum.

Skriv et svar til: Divergence af et vektorfelt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.