vanskelige grænseværdier

Jeg har en tanke, der ikke er hele løsningen, men dog alligevel med til at kaste klarhed over problemstillingen:

Det første udtryk kan skrives som lim(n->oo)((1+1/n)^n)^x = e^x, hvorfor det må være nok at vise, at lim(n->oo)((1+1/n)^n) = e. Det er nok at vise, da funktionen a^x er kontinuert som funktion af a, hvorfor a^x går mod e^x for a -> e.

Og nu kommer min tanke. En af de ting, vi ved om e^x er, at den differentieret giver sig selv. Derfor har jeg set på grænseværdien af differenskvotienten for e^x. Jeg har valgt at bruge følgen 1/n som værktøj, hvilket giver:

[e^(x+1/n)-e^x]/(1/n) = n*e^x*[e^(1/n)-1]

Da grænseværdien for n->oo af denne differenskvotient SKAL give e^x, kan jeg altså slutte, at:

lim(n->oo)(n*[e^(1/n)-1]) = 1

Hvis vi nu lader epsilon være givet, kan vi altså finde et N i de naturlige tal, så der for m>=N gælder, at m*[e^(1/m)-1]=<1+epsilon.

Dvs. e^(1/m)=<1+1/m+epsilon/m.

Altså kan vi få e^(1/n) - som jo betyder den n'te rod af e - så tæt på (1+1/n) som vi vil, blot n er stor nok.




Fortæl mig lige, om det giver mening, eller er jeg kørt helt af sporet?

det giver mening..