Matematik
Taylorpolynomium....
18. november 2007 af
ASLAK (Slettet)
Der er givet differentialligningen:
x`=-tx+sinx
med begyndelsesbetingelsen x(0)=(pi/2).
Find det 3. Taylorpolynomium P3 med udviklingspunkt 0 for løsningen.
Mit bud:
P3(x)= f(x0)+ ((f´(x0))/1!)(x-x0)+ ((f``(x0))/2!)(x-x0)^2 +((f´´´(x0))/3!)(x-x0)^3
- problemet er så bare bare hvordan jeg laver x`=-tx+sinx som til x??? altså så den ikke er differentieret?? integrer jeg x??? og hvad menes der med udviklingspunkt , er det x0 i9 formlen ovenover???
x`=-tx+sinx
med begyndelsesbetingelsen x(0)=(pi/2).
Find det 3. Taylorpolynomium P3 med udviklingspunkt 0 for løsningen.
Mit bud:
P3(x)= f(x0)+ ((f´(x0))/1!)(x-x0)+ ((f``(x0))/2!)(x-x0)^2 +((f´´´(x0))/3!)(x-x0)^3
- problemet er så bare bare hvordan jeg laver x`=-tx+sinx som til x??? altså så den ikke er differentieret?? integrer jeg x??? og hvad menes der med udviklingspunkt , er det x0 i9 formlen ovenover???
Svar #1
18. november 2007 af sigmund (Slettet)
Ja, x0 er udviklingspunktet. I opgaven her er x0 = 0. Således kender du allerede "f(x0)", den er nemlig pi/2.
Du skal bestemme P3. Dvs. at du får brug for den anden, hhv. tredje, afledede, foruden den første afledede, som du allerede har i kraft af differentialligningen. Lad os tage et eksempel med den anden afledede.
Vi har x'(t) = -t*x(t) + sin(x(t)). For at finde x''(t) skal vi således differentiere højresiden med hensyn til t. Vi tager de to led hver for sig, først sin(x(t)). Ved at benytte regelen om differentiation af sammensat funktion, får vi cos(x(t))*x'(t). Lad os så se på -t*x. Her giver produktregelen -1*x(t)-t*x'(t). Sammenlagt får vi så x''(t) = cos(x(t))*x'(t)-x(t)-t*x'(t).
For at sætte ind i definitionen af Taylorpolynomiet, skal du også kende x'(0), x''(0) osv. Disse kan du regne dig frem til ved at sætte ind i x'(t), x''(t) osv. x'(t) er jo givet ved x(t), og x''(t) er givet ved både x(t) og x'(t). Fx giver begyndelsesbetingelsen x(0) = pi/2, at x'(0) er -0*x(0) + sin(x(0)) = sin(pi/2) = 1. Dette kan så igen bruges til at bestemme x''(0).
Forhåbentlig finder du ud af det? Eller spørger du bare igen!
Du skal bestemme P3. Dvs. at du får brug for den anden, hhv. tredje, afledede, foruden den første afledede, som du allerede har i kraft af differentialligningen. Lad os tage et eksempel med den anden afledede.
Vi har x'(t) = -t*x(t) + sin(x(t)). For at finde x''(t) skal vi således differentiere højresiden med hensyn til t. Vi tager de to led hver for sig, først sin(x(t)). Ved at benytte regelen om differentiation af sammensat funktion, får vi cos(x(t))*x'(t). Lad os så se på -t*x. Her giver produktregelen -1*x(t)-t*x'(t). Sammenlagt får vi så x''(t) = cos(x(t))*x'(t)-x(t)-t*x'(t).
For at sætte ind i definitionen af Taylorpolynomiet, skal du også kende x'(0), x''(0) osv. Disse kan du regne dig frem til ved at sætte ind i x'(t), x''(t) osv. x'(t) er jo givet ved x(t), og x''(t) er givet ved både x(t) og x'(t). Fx giver begyndelsesbetingelsen x(0) = pi/2, at x'(0) er -0*x(0) + sin(x(0)) = sin(pi/2) = 1. Dette kan så igen bruges til at bestemme x''(0).
Forhåbentlig finder du ud af det? Eller spørger du bare igen!
Svar #2
18. november 2007 af ASLAK (Slettet)
okay, er lidt med nu, men har stadigvæk et par spørgsmål:
Når man har beregnet den 3 afledede funktion, skal man så bare sætte det hele ind i følgende formel:
P3(x)= f(x0)+ ((f´(x0))/1!)(x-x0)+ ((f``(x0))/2!)(x-x0)^2 +((f´´´(x0))/3!)(x-x0)^3
men forstår ikke helt hvorfor jeg skal finde x´(0), x´´(0) osv. Altså sådan som jeg forstår det lige nu, er det noget med først at finde den anden og tredje afledede funktion. Da jeg skal finde det tredje taylorpolynomium. Dernæst skal jeg sætte begyndelsesbetingelsen ind i henholdsvis x´,x´´ og x´´´ . Når jeg har gjort det sætter jeg det ind i f´(x0), f``(x0) og f´´´(x0). men hvad står 1!,2!og 3! for(har læst at det er fakulitet, men hvad menes der med det???)
Er sku lidt forvirret lige nu!
Når man har beregnet den 3 afledede funktion, skal man så bare sætte det hele ind i følgende formel:
P3(x)= f(x0)+ ((f´(x0))/1!)(x-x0)+ ((f``(x0))/2!)(x-x0)^2 +((f´´´(x0))/3!)(x-x0)^3
men forstår ikke helt hvorfor jeg skal finde x´(0), x´´(0) osv. Altså sådan som jeg forstår det lige nu, er det noget med først at finde den anden og tredje afledede funktion. Da jeg skal finde det tredje taylorpolynomium. Dernæst skal jeg sætte begyndelsesbetingelsen ind i henholdsvis x´,x´´ og x´´´ . Når jeg har gjort det sætter jeg det ind i f´(x0), f``(x0) og f´´´(x0). men hvad står 1!,2!og 3! for(har læst at det er fakulitet, men hvad menes der med det???)
Er sku lidt forvirret lige nu!
Svar #3
18. november 2007 af sigmund (Slettet)
Okay, lad os tage det fra en ende af!
I dette tilfælde er Taylorpolynomiet P3 med udviklingspunkt 0:
 = x(0) + \frac{x'(0)}{1!}t + \frac{x''(0)}{2!}t^2 + \frac{x'''(0)}{3!}t^3.$)
Så opgaven er egentlig at finde x'(0), x''(0) og x'''(0). Det ser ud til, at du har forstået fremgangsmåden til at finde disse. Eller har du?
Til sidst, n!, hvor n er et naturligt tal (dvs. et positivt helt tal), er givet ved 1*2*3*...*n. Således er fx 3! = 1*2*3 og 10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10. Denne funktion kaldes for 'fakultet'.
Du må endelig skrive igen, hvis du har andre spørgsmål.
I dette tilfælde er Taylorpolynomiet P3 med udviklingspunkt 0:
Så opgaven er egentlig at finde x'(0), x''(0) og x'''(0). Det ser ud til, at du har forstået fremgangsmåden til at finde disse. Eller har du?
Til sidst, n!, hvor n er et naturligt tal (dvs. et positivt helt tal), er givet ved 1*2*3*...*n. Således er fx 3! = 1*2*3 og 10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10. Denne funktion kaldes for 'fakultet'.
Du må endelig skrive igen, hvis du har andre spørgsmål.
Skriv et svar til: Taylorpolynomium....
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.