Span af vektorrum

Lad os betragte det euklidske vektorrum V. (Delmængden af V er ikke tom). Lad b være et skalar og lad v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n være et arbitrær element af Span(v1,v2,...,vn).

Da bv = (ba_1)v_1 + ... + (ba_n)v_n får vi, at bv tilhører Span(v1,...,vn). Vi vil nu vise, at en sum af to elementer af vores span-mængde er i span-mængden. Lad v = a_1 v_1 + ... + a_n v_n
og w = b_1 v_1 + ... + b_n v_n. Så er v + w netop lig med (a_1 + b_1)v_1 + ... + (a_n + b_n)v_n , som tilhører Span(v1,...,vn).

Hermed er Span(v1,...,vn) et underrum af V.

Tak :-)

Der er ingen grund til at kigge på Euklidiske vektorrum da det dertil knyttede indre produkt er uden betydning for argumentet. Husk også et Euklidiske vektorrum ikke er et vektorrum i sædvanlig forstand (det er en torsor hvorpå et vektorrum virker), omend det er en mindre væsentlig detalje.