Matematik

differentialligning

09. december 2007 af Nithelizius (Slettet)

Opgave: uden hjælpemidler

En funktion f er løsning til differentialligningen

dy/dx = 2xy^3

og linjen l er bestemt ved ligningen y = x - 3 .
I punktet P(4 , y0) har grafen for f en tangent, der er parallel med l.
Bestem y0.

dvs.

l: y'=1, dvs tangens hældning er 1, a=1

dy/dx= 2xy^3, separation af de variable:

dy/dx= 2xy^3 <-> dy/y^3 = 2xdx <-> S1/y^3 dy = S 2x dx + k <-> Sy^-3 dy = S 2x dx + k <-> 1/(1/-2) y^-2 = x^2 + k
hvad gør jeg så nu? hvilket punkt kan man bruge osv :)

på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2007 af dnadan (Slettet)

Det er ikke nødvendigt med seperation af de variable, du får at vide at dy/dx)1, samt at x0=4, heraf:
1=2*4*y0^3

Løs ligningen.

Svar #2
09. december 2007 af Nithelizius (Slettet)

dvs. y= 3sqr (1/8) = sqr1/4 = 1/2?

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. december 2007 af dnadan (Slettet)

ikke sqrt.

Men
1=2*4*y0^3
<=>
1=8*y0^3
<=>
1/8=y0^3
<=>
(8^(-1))^(1/3)=y0
<=>
y0=8^(-1/3))=1/(8^(1/3))=1/2

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. december 2007 af Sherwood (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. december 2007 af Sherwood (Slettet)

#3 Tror bare at 3sqrt er #0's skrivemåde for den 3. rod.

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. december 2007 af dnadan (Slettet)

#5 det må det givetvis være, men det er nu engang ikke korrekt, at skrive det... Men dét lader vi ligge:)

Svar #7
09. december 2007 af Nithelizius (Slettet)

nej det er det ikke, kunne bare ikke lige finde ud af hvordan man skulle kunne løse det uden hjælpemidler :) Men så blev jeg så meget klogere nu :)

tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. december 2007 af Duffy

Opgave: uden hjælpemidler

En funktion f er løsning til differentialligningen

dy/dx = 2xy^3

og linjen l er bestemt ved ligningen y = x - 3 .
I punktet P(4 , y0) har grafen for f en tangent, der er parallel med l.
Bestem y0.

dvs.

l: y'=1, dvs tangens hældning er 1.

Hertil har du gjort det meget fint.

Du har ikke brug for at finde y vha SEPARATION AF DE VARIABLE, men
blot at tangent-linien er på formen

y=f(xo)+f’(xo)(x-xo).

At linien l har ligning y = x - 3 viser ganske rigtigt,
at tangens hældning er 1.
Dvs f'(xo)=1 for xo=4.

Så mangler vi bare at finde f(xo)=yo:

Denne findes vha

dy/dx = 2xy^3

1=2·4·(yo)^3

<=>

1=8(yo)^3

<=>

(yo)^3=1/8

<=>

yo=(1/8)^(1/3)

<=>

yo = 1/2

----------------

Nu har vi al information i formlen

y=f(xo)+f’(xo)(x-xo).

f'(xo)=1 for xo=4.

f(xo)= yo = 1/2

HERMED ER DET ØNSKEDE BESTEMT.

------------------

Tangent-ligningen bliver

y = 1/2 + 1(x-4)

y = 1/2 + x - 4

y = x - 3,5

------------------

Løsnings-kurvens ligning er

y = -sqrt(-2x^2+36)/(2x^2-36)

for -3·sqrt(2) = x = 3·sqrt(2)

...

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. december 2007 af Duffy

Bah! :P

Der skulle have stået

Løsnings-kurvens ligning er

y = -sqrt(-2x^2+36)/(2x^2-36)

for -3·sqrt(2) =< x =< 3·sqrt(2)

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.