Matematik

Integrale

20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

Jeg er stødt på et noget specielt integrale som jeg håber at der er en som kan give mig en forklaring på.

n=integralet fra -uendelig til +uendelig f(x) dx

f(x) er:
f(x)=n*(sqr(m/(2*pi*k*T)))*exp(-((m*x^2)/(2*k*T)))

Hvordan kan n optræde på begge sidder af lig med tegnet?

På forhånd tak for hjælpen og god jul.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#0:
(1) Lille detalje: det hedder ``integral'', ikke ``integrale''.

(2) Hvad mener du med at integralet optræder på begge sider af lighedstegnet? Jeg kan kun se et integral på højresiden.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. december 2007 af ibibib (Slettet)

Du skal vel vise at
integralet fra -uendelig til +uendelig (sqr(m/(2*pi*k*T)))*exp(-((m*x^2)/(2*k*T))) = 1.

Svar #3
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

Det der står er:

n=integralet fra -uendelig til +uendelig n*(sqr(m/(2*pi*k*T)))*exp(-((m*x^2)/(2*k*T))) dx

"n" optræder altså på begge sidder af lig med.

Hvordan kan n det.

og det kan godt være at det er det jeg skal vise. At for at n kan optræde begge steder, så bliver resten af det på højre siden nødt til at blive 1?

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
Jeg kan stadig ikke finde ud af hvordan din notation skal forstår. Mener du

hvor t skal være et T (webmasteren har kludret i kodningen af MimeTeX-delen af siden)?

Svar #5
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

sådan står det.

Svar #6
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

ikke helt rigtig kan jeg se :(

men det du har lavet er rigtig...udover at der på venstre siden kun står "n" og på højresiden skal f(x) erstattes med n....men ellers er det rigtig stillet op også står den som jeg har på papiret.

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#6:
Okay, så gør du som følger:

så smider du først konstanten uden for integralet. Dernæst beregner du

hvor a er en reel konstant. Vi bemærker at exp(-ax²) er Lebesgueintegrabel (og dermed Riemannintegrabel) over ``kassen'' [0,\inf]x[0,\inf], så vi må omskrive (1) til et dobbeltintegral:

Nu omskriver vi så til polære koordinater (og husker at ændre grænserne):

Dette integral er ikke svært at beregne, og du får nemt at værdien er lig med pi/(4a). Men exp(-ax²) er klart symmetrisk omkring x = 0, så

Nu tager du så kvadratroden af dette:

Ved at erstatte a med m/(2kT) i (5), fås det ønskede.

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#7:
Jeg kan da godt lige beregne det integral, jeg udelod, for dig også. Vi skal have beregnet

Først beregner vi det inderste integral via substitutionen t = -t², og finder de nye grænser:

Altså er det inderste integral i (1) givet ved

Det vil sige, at

Nu til det yderste integral. Vi indsætter (3) i (1) og får, at

Svar #9
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

så tilbage står der at:

n=n*(pi/4a)

og får at dette kan være sandt, så må (pi/4a) blive 1, da det ellers ikke vil være sandt.

Forresten, mange tak for hjælpen.

Svar #10
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

Et sidste spørgsmål:

Hvordan finder jeg den vandrette asymptote i f(x), eller i hvert fald gøre rede for at den har en vandret asymptote. Jeg har forsøgt at lade x gå mod uendelig men uden held.

Hvordan skal jeg gribe den an?

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#9:
Nej, du mangler den faktor, som du satte uden for integralet i starten:

#10:
Det aner jeg ikke, for du skriver ikke noget om hvad f er for en funktion. (Jeg kan i hvert fald ikke få øje på det nogen steder.)

Svar #12
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

f(x) er den funktion som du har integreret, den som du ahr stående i starten af #6, bare hvor "n" også ingår.

Brugbart svar (0)

Svar #13
20. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#12:
For at undgå ydereligere forvirring, vil jeg gerne have at du skriver _helt nøjagtigt_ hvad f(x) er givet ved. Husk at du kan lave en forhåndsvisning af dit svar, så du har mulighed for at undgå at MimeTeX-koden bliver ulæselig, når du indsætter svaret.

Svar #14
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

.

Så burde den være der, det kræver træning ;)...men det er f(x)

Svar #15
20. december 2007 af HRibjerg (Slettet)

Jeg håber virkelig at du kan hjælpe mig med at gøre rede for at f(x) har en vandret asymptote.

Brugbart svar (0)

Svar #16
21. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#14:
Så er jeg i live igen! ;-)

Hvis n, m, k og t er reelle konstanter, har du en funktion på formen

hvor a og b er reelle konstanter. Prøv at se om det ikke kan hjælpe dig videre.

Brugbart svar (0)

Svar #17
21. december 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#16:
Nå ja, n var jo det der integral! Så har du altså

(Jeg formoder at du bare har glemt minuset i argumentet til eksponentialfunktionen.) Jeg kan ikke umiddelbart finde en løsning til denne integralligning, men hvis jeg finde på noget smart, skriver jeg.

Skriv et svar til: Integrale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.