Matematik
differentialligninger
25. januar 2008 af
aisha_123 (Slettet)
Opgave 8.008:
I en model for, hvordan en bestemt population udvikler sig i tidens løb, antages det, at populationens væksthastighed er propptional med populations størrelse.
Tiden t måles i døgn, og proportionalitetskosntanten er 0.084.
Det antages, at der til at begynde med er 10 individer i populationen.
a) Opskriv en differentialligningen, der beskriver populationens udvikling.
b) Bestem v.h.a. modellen antallet af individer efter 7 døgn.
I modellen antages det, at popultionens vækst efter de 7 døgn ændrer sig, således at antallet y af individer i populationen son funktion af tiden t opfylder differentialligningen:
(dy)/(dx) =0.002*y(100 - y)
c) Bestem, hvor mange døgn der går, før antallet af individer i populationen er net op p 90% af populationens maksimum.
I en model for, hvordan en bestemt population udvikler sig i tidens løb, antages det, at populationens væksthastighed er propptional med populations størrelse.
Tiden t måles i døgn, og proportionalitetskosntanten er 0.084.
Det antages, at der til at begynde med er 10 individer i populationen.
a) Opskriv en differentialligningen, der beskriver populationens udvikling.
b) Bestem v.h.a. modellen antallet af individer efter 7 døgn.
I modellen antages det, at popultionens vækst efter de 7 døgn ændrer sig, således at antallet y af individer i populationen son funktion af tiden t opfylder differentialligningen:
(dy)/(dx) =0.002*y(100 - y)
c) Bestem, hvor mange døgn der går, før antallet af individer i populationen er net op p 90% af populationens maksimum.
Svar #3
25. januar 2008 af mathon
dy/dt = 0,084y, y>0
(1/y)(dy/dt) = 0,084, som integreres med hensyn til t
S(1/y)(dy/dt)dt = S 0,084*dt
S(1/y)dy = S 0,084*dt
ln(y) = 0,084*t+k
y = e^(0,084*t+k)
y = (e^k)*e^(0,084*t)
y = yo*e^(0,084*t)
y = 10*e^(0,084*t)
b)
y = 10*e^(0,084*7).......osv.....
(1/y)(dy/dt) = 0,084, som integreres med hensyn til t
S(1/y)(dy/dt)dt = S 0,084*dt
S(1/y)dy = S 0,084*dt
ln(y) = 0,084*t+k
y = e^(0,084*t+k)
y = (e^k)*e^(0,084*t)
y = yo*e^(0,084*t)
y = 10*e^(0,084*t)
b)
y = 10*e^(0,084*7).......osv.....
Svar #4
25. januar 2008 af aisha_123 (Slettet)
10*(e)^(0.084*7) = 10*(e)^(.588)
Er dette så svaret eller hvad?
Er dette så svaret eller hvad?
Svar #5
25. januar 2008 af mathon
(dy/dt) = 0.002*y(100-y)
1/(y(100-y))(dy/(dt) = 0.002, som integreres med hensyn til t
S (1/(y(100-y))*(dy/(dt)*dt = S 0.002*dt
S (1/(y(100-y))*dy = S 0.002*dt
S ((0,01/y) + (0,01/(100 - y))*dy = S 0.002*dt
S(0,01/y)dy - S 0,01/(y-100)dy = S 0.002t*dt
0,01*ln(y)-0,01*ln(y-100) = 0.002*t+k
0,01*(ln(y)-ln(y-100)) = 0.002*t+k
(ln(y)-ln(y-100)) = 0,2t+k1, hvor k1 = k/0,01
ln(y/(y-100)) = 0,2t+k1
(y/(y-100) = e^(0,2t+k1) = e^k1*e^0,2t
(y/(y-100) = C1*e^0,2t
y = C1*e^0,2t*(y-100)
y = C1*e^0,2t*y-100*C1*e^0,2t
(C1*e^0,2-1)y = 100*C1*e^0,2
y = 100*C1*e^0,2t/(C1*e^0,2t-1)
y = 100/(1-1/(C1*e^0,2t))
y = 100/(1-(1/C1)*e^(-0,2t))
y = 100/(1-C*e^(-0,2t)), hvor C=(1/C1)
1/(y(100-y))(dy/(dt) = 0.002, som integreres med hensyn til t
S (1/(y(100-y))*(dy/(dt)*dt = S 0.002*dt
S (1/(y(100-y))*dy = S 0.002*dt
S ((0,01/y) + (0,01/(100 - y))*dy = S 0.002*dt
S(0,01/y)dy - S 0,01/(y-100)dy = S 0.002t*dt
0,01*ln(y)-0,01*ln(y-100) = 0.002*t+k
0,01*(ln(y)-ln(y-100)) = 0.002*t+k
(ln(y)-ln(y-100)) = 0,2t+k1, hvor k1 = k/0,01
ln(y/(y-100)) = 0,2t+k1
(y/(y-100) = e^(0,2t+k1) = e^k1*e^0,2t
(y/(y-100) = C1*e^0,2t
y = C1*e^0,2t*(y-100)
y = C1*e^0,2t*y-100*C1*e^0,2t
(C1*e^0,2-1)y = 100*C1*e^0,2
y = 100*C1*e^0,2t/(C1*e^0,2t-1)
y = 100/(1-1/(C1*e^0,2t))
y = 100/(1-(1/C1)*e^(-0,2t))
y = 100/(1-C*e^(-0,2t)), hvor C=(1/C1)
Skriv et svar til: differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.