approksimation

A'(r) er hældningen på tangenten til funktionen A(r) i punktet r. Går man en smule væk fra dette punkt er tangenten og funktionen næsten ens, derfor kan man tilnærme funktionen med tangentens hældning ganget med afstanden fra punktet r til det punkt man befinder sig i, dr.

En anden måde at vise det på er, at simpelthen udregne udtrykket og udregne arealet for cirklerne med radius hhv. r+dr og r:

A(r+dr)-A(r) = pi*(r+dr)^2 - pi*r^2

= pi*(r^2 + dr^2 + 2r*dr) - pi*r^2

= pi*r^2 + pi*dr^2 + 2pi*r*dr - pi*r^2

Vi ser nu, at de to led pi*r^2 og -pi*r^2 går ud. Vi har nu tilbage:

pi*dr^2 + 2pi*r*dr

Vi ved, at ændringen 'dr' er meget lille (infinitesimalt lille). Hvis man tager et meget småt tal og opløfter det til anden potens, så bliver det MEGET mindre. Nu er det et virkelig lille tal, så vi approksimerer og siger, at dr^2 = 0, da det er uendeligt småt i forhold til det andet led 2pi*r*dr, som IKKE indeholder et 'dr^2', men kun et 'dr'. Husk nu, at 'dr' er meget meget større end 'dr^2'. Man skriver ofte, at dr >> dr^2.
Vi står tilbage med ét led:

2*pi*r*dr

Det var det, vi skulle vise...

Tak for hjælpen til jer begge