3.gradspolynomium? - Matematik

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

ax^3+bx^2+cx+d

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. juni 2008 af Kristoffer Fage (Slettet)

Førstegradspolynomium: ax + b

Andengradspoly: ax^2 + bx + c

Tredjegradspoly: ax^3 + bx^2 + cx + d, osv. Antallet af x'er bestemmer..

Svar #3
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

Tak.. vil du forklare lidt omkring hvad de enkelte led står for?

Svar #4
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

Altså jeg skal lave et 3.gradspolynonium ud fra to punkter i et koordinatsystem. (7,5;4,1) (9,3;5)

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Ja, det vil jeg tro, men to punkter er ikke helt nok! Man skal bruge fire punkter før et 3.gradspolynomium er fastlagt.

Svar #6
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

Okay. kan du så fortælle en fremgangsmåde til at løse opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Ja, man har fire ligninger med fire ubekendte, nemlig tallene a, b, c og d som ubekendte. Hvis punkterne hedder (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) og (x4,y4) bliver ligningerne:

y1=ax1^3+bx1^2+cx1+d
y2=ax2^3+bx2^2+cx2+d
y3=ax3^3+bx3^2+cx3+d
y4=ax4^3+bx4^2+cx4+d

Dette ligningssystem kan løses trin for trin - f.eks. ved "lige store koefficienters metode". Spørg endelig, hvis du ønsker fortsættelsen eller evt. et taleksempel.

Svar #8
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

men punkterne... hvordan finder jeg 4 punkter?

ja tak endelig en fortsættelse og taleeksempel tak.. ;b

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Lad os sige, at vi skal bestemme forskriften for funktionen y=ax^3+bx^2+cx+d hvis graf går gennem punkterne (1,2) (3,4) (5,6) og (7,8)

Så har vi

1. 2=a*1^3+b*1^2+c*1+d
2. 4=a*3^3+b*3^2+c*3+d
3. 6=a*5^3+b*5^2+c*5+d
4. 8=a*7^3+b*7^2+c*7+d

fordi x og y koordinater for hvert punkt netop skal passe ind i forskriften. Lad mig først lige reducere disse udtryk ved at udregne potenserne:

1. 2=a+b+c+d
2. 4=27a+9b+3c+d
3. 6=125a+25b+5c+d
4. 8=343a+49b+7c+d

I mit næste indlæg vil jeg løse dette ligningssystem med fire ligninger og fire ubekendte vha. lige store koefficienters metode.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Først trækker jeg den første ligning fra de tre andre, da leddet d har lige stor koefficient i alle disse (koefficienten er det tal, der er ganget på og ved d står der et hemmeligt 1-tal fordi d=1*d):

2. 2=26a+8b+2c
3. 4=124a+24b+4c
4. 6=342a+48b+6c

Nu har jeg tre ligninger med tre ubekendte, nemlig a, b og c. Hvis man ganger 2. med to og derpå trækker den fra 3. får man:

3. 0=72a+8b

Hvis man derpå gange 2. med tre og trækker den fra 4., giver dette:

4. 0=264a+24b

Ved nu at gange 3. med 3 og trække den fra 4. fås endvidere:

4. 0=48a

Så a må være 0, hvilket betyder, at der ikke findes et 3.gradspolynomium gennem disse fire punkter. Jeg tror lige jeg kommer med et bedre eksempel!

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Faktisk bliver ovenstående til funktionen y=x+1, som er en ret linje, der går gennem de fire punkter :)

Svar #12
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

okay.. jeg er med indtil videre.. men jeg ved stadig ikke hvordan jeg får fat på de to sidste koordinatsæt fordi jeg jo kun har to nu. ?

Brugbart svar (0)

Svar #13
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Måske står der mere i opgaven end de to punkter - det kan være andre informationer, det behøver ikke nødvendigvis at være punkter.

Svar #14
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

nej det gør der ikke.. det er færdig jeg skal opstille en funktion til en del af en konstruktion. :)

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Lad os prøve med (-2,1) (-1,2) (1,1) og (2,2), så bliver de fire ligninger i reduceret form:

1. 1=-8a+4b-c+d
2. 2=-a+b-c+d
3. 1=a+b+c+d
4. 2=8a+4b+c+d

Nu trækker jeg 3. fra hver af de andre fordi d derved forsvinder:

1. 0=-9a+3b-2c
2. 1=-2a-2c
4. 1=7a+3b

Nu trækker jeg 2. fra 1.:

1. -1=-7a+3b

Dette resultat lægger jeg til 4.:

4. 0=3b

Hvilket fortæller, at b=0, og da 7a+3b=1 kan jeg nu se, at 7a=1, hvilket giver mig at a=1/7 hvorpå -2a-2c=1 betyder, at -2/7-2c=1, som resulterer i, at 2c=-9/7 så c=-9/14. Tilbage er at vælge en tilfældig af de oprindelige ligninger for at bestemme d. Jeg vælger 3. så der står:

3. 1=1/7+0-9/14+d

Som dermed fortæller, at d=1,5. Facit bliver:

f(x)=1/7x^3-9/14x+1,5

Medmindre jeg evt. har lavet et par regnefejl hist og her.

Brugbart svar (0)

Svar #16
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Med dine to punkter kan man opstille to ligninger med fire ubekendte - det er et såkaldt underbestemt system og har uendeligt mange løsninger. Det kan uden videre reduceres til én ligning med tre ubekendte, men her er det oplagt, at de tre ubekendte ikke er éntydigt bestemt.

(7,5;4,1) (9,3;5) bliver til

1. 4,1 = 421,875a+56,25b+7,5c+d
2. 5 = 804,357a+86,49b+9,3c+d

Som ved at trække 1. fra 2. giver

2. 0,9 = 382,482a+30,24b+1,8c

Hvor den ubekendte d nu er væk - de tre andre står tilbage!

Svar #17
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

så min ligning bliver altså f(x)=421,875x^3+30,24x^2+1,8x ?

men hvad så med d i men ligning?

Brugbart svar (0)

Svar #18
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Niks, det bliver ikke din ligning! 421,875 er 7,5^3 og dermed er dette leddet x^3 i ligning 1. ovenfor. Giver det mening?

Brugbart svar (0)

Svar #19
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Og for lige at understrege det endnu en gang: to punkter bestemmer/fastlægger ikke noget 3.gradspolynomium. Det forholder sig faktisk sådan, at:

Et 1.gradspolynomium (en ret linje) kræver to punkter for at være bestemt

Et 2.gradspolynomium kræver tre punkter for at være bestemt

Et 3.gradspolynomium kræver fire punkter...

Et 4.gradspolynomium kræver fem punkter...

Gæt selv fortsættelsen

Svar #20
05. juni 2008 af Christian14 (Slettet)

okay.. så min ligning bliver: f(x)=7,5x^3+5,5x^2+1,8x ?