Differentiation

se som et lille eksempel
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=529543

Forklar først hvad differentialkvotienten er og hvad f'(x_0) betyder for f(x_0). Forklar hvorfor f'(x)= 0 kan være ekstrema og hvordan man undersøger om f'(x)=0 er et ekstremum for f(x). Forklare så hvorledes en funktion (her ville jeg mene at det ville være godt at tage udgangspunkt i et eksempel) kan optimeres ved hjælp af det ovenstående.

En bestemt type beholder, der skal indeholde 20 dm^3, er sammensat af en cylinder med bund og en halvkugleflade, der har samme radius som bunden af cylinderen. Det oplyses at overfladen O(x) (dm^2) for en sådan beholder som funktion af cylinderens radius x (dm) er givet ved

O(x)=13/3*pi*x^2+40/x

- bestem overfladen når radius i cylinderen er 2 dm og bestem radius i den beholder der har den mindste overflade.


O'(x) = ((26/3)*pi)*x - 40/x^2 = 0


de kritiske punkter er
bestemt ved

((26/3)*pi)*xo - 40/xo^2 = 0 og xo>0

xo = [40*3/(26pi)]^(1/3) = 1,13681

for x<1,13681 er O'(x)<0, hvorfor O(x) er monotont aftagende
for x=1,13681 er O'(x)=0, hvorfor grafen for O(x)har vandret tangent
for x>1,13681 er O'(x)>0, hvorfor O(x) er monotont voksende

O(x) har således minimum for x=1,13681

Tusind tak for jeres hjælp! Jeg forstår det meget bedre nu :D Tak for eksemplerne :D