Matematik

Cosinus og sinus

07. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Har lidt problemer med den her ligning:
sin^3(x)(1+cot(x))+cos^3(x)(1+tan(x))=cos(2x)
Hvordan regner man den i hånden. (Jeg kan godt spørge computeren og få svarene 0, 135, 270, 315 - men jeg vil gerne regne den i hånden)

Man kan ommøblere lidt og få sin(x) = -cos(x) eller cos(x)-sin(x) = 1.

Hvordan løser man det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Hvad med at dividere din næstsidste ligning med sin(x) og få 1=-tan(x) dvs. tan(x)=-1. Men det stemmer kun med 135 og 315, så jeg ved ikke lige, om du har overset noget i "ommøbleringen" - jeg har ikke selv forsøgt endnu...

Svar #2
08. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Genialt :)

Ja. tan(x)=-1 stemmer for 135 og 315, og cos(x)-sin(x) = 1 stemmer for 0 og 270. Så der er ikke nogen fejl der.

Min udregning:

sin^3(x)(1+cot(x))+cos^3(x)(1+tan(x))=cos(2x) <=>
sin^2(x)(sin(x)+cos(x))+cos^2(x)(cos(x)+sin(x))=cos(2x) <=>
(sin^2(x)+cos^2(x))(sin(x)+cos(x)) = cos(2x) <=>
(sin(x)+cos(x)) = cos(2x) <=>

(Her bruger jeg at cos(x)*cos(x) = cos(x+x)/2+cos(x-x)/2 = cos(2x)/2-1/2. Kan udregnes ved at bruge at cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2 )

sin(x)+cos(x) = cos(2x) = 2*cos^2(x)-1 = cos^2(x)-sin^2(x) <=>
sin(x)+cos(x) = (sin(x)+cos(x))(sin(x)-cos(x)) <=>
sin(x)+cos(x) = 0 eller sin(x)-cos(x) = 1 <=>
sin(x) = -cos(x) eller sin(x)-cos(x) = 1 <=>
tan(x) = -1 eller sin(x)-cos(x) = 1

Men da der oppe i den første ligning står cot(x) og tan(x) kan det ikke gælde hvis sin(x) eller cos(x) = 0? Dvs. at det ikke gælder for x=0, x=90, x=180 og x=270

Dan tan(x) = -1 har løsninger 135 og 315, men sin(x)-cos(x)=1 ikke har nogen løsninger, hvis x er deleligt med 90, er x = 135 + 360n eller x = 315 + 360n ?

Men hvordan løser man tan(x) = -1 i hånden ? :O

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Undskyld jeg var vist lidt sløv :)

Du har selvfølgelig ganske ret - bortset fra en lille ubetydelig fortegnsfejl i omskrivningen

(Her bruger jeg at cos(x)*cos(x) = cos(x+x)/2+cos(x-x)/2 = cos(2x)/2-1/2.
Hvor der skal stå +1/2 til sidst, men det har du nu også regnet videre med :)

Dine konklusioner stemmer således også, så det blot er cot(x)=tan(x)=-1, der skal løses. Dette giver (som du stort set selv konkluderer) x tilhører mængden af tal på formen x=135+180n, hvor n er naturligt. Du kan slet og ret argumentere med at tan er periodisk med 180 grader.

Det kan også ses ved at linjen y=-x skærer enhedscirklen i retningspunkterne for 135 og 270, hvorpå det, at lægge 360 til én af disse giver samme retning, og dette samles så til den endelige konklusion.

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. juni 2008 af mathon

tan(x) = -1.....ses på enhedscirklen

x = -(pi/4) + p*pi, hvor p € Z

Svar #5
08. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Tja.. Er bare bange for at jeg går glip af et eller flere resultater, hvis jeg nøjes med den måde.. Men det er selvfølgelig en sidste udvej!

TP: Ja. skulle have været +1/2 :)

Btw. Har en lille vieta jumping opg:) Vis at, hvis xy-1|x^2+y^2 da er (x^2+y^2)/(xy-1) = 5

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Den ser jeg på :)

Alle løsninger til tan(x)=-1 findes blandt L={x|x=135+180n,n er naturligt}. Men det er måske ikke det, du betvivler?

Svar #7
08. juni 2008 af grisehønen (Slettet)

Den er fundet her: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=165529
Jeg har ikke kigget på den selv endnu:)

Jeg er med på at hvis tan(x) = -1 så er x=135+180n. Spørgsmålet er nærmere om der findes en måde at udregne det på som er "sikker". Jeg kan jo godt komme til at lave fejl, hvis je gbare kigger på enhedscirklen en anden gang :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Tangens er ALTID hældningskoefficienten af linjen gennem origo og retningspunktet for vinklen! Dette kan du se ved, at formlen for denne hældningskoefficient er:

a=(sin(x)-0)/(cos(x)-0)=tan(x)

hvor jeg har brugt formlen for a i linjens ligning y=ax+b og indsat punkterne (x1;y1)=(0;0) og (x2;y2)=(cos(x);sin(x)). Så argumentationen er skam holdbar nok!

Helt generelt:
Hvis x1 løser tan(x)=k, så kan alle løsninger fås som

x=x1+180n

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Her er min løsning:

http://peecee.dk/upload/view/118132

det kan muligvis gøres pænere, men det virker ;)

Skriv et svar til: Cosinus og sinus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.