Matematik

sin(x) differentiabel!

09. juni 2008 af Tipp-Ex (Slettet)

Et af de spørgsmål jeg kan trække til min matematikeksamen i morgen omhandler trigonometriske funktioner. Herunder skal jeg bland andet vise at sin(x) er differentiabel.

Kan det ikke bare gøres ved at, vha tretrinsreglen, finde differenskvotienten for sin(x), eller skal der mere til?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. juni 2008 af –Zeta– (Slettet)

Joh. Vi betragter differenskvotienten (sin(x)-sin(x_0))/(x - x_0)

Ifølge den logaritmiske formel sin(u) – sin(v) = 2*cos(½(u+v))*sin(½(u-v)) haves:

(2*cos((x+x_0)/2)*sin((x–x_0)/2))/(x-x_0)
<=>
cos((x+x_0)/2) * (sin((x–x_0)/2))/½(x-x_0)

Vi lader x gå mod x_0:

lim[x->x_0] cos((x+x_0)/2) = cos(x_0)
og
lim[x->x_0] (sin((x–x_0)/2))/½(x-x_0) = lim[x->0] sin(x)/x = 1

hvoraf
lim[x->x_0] (sin(x)-sin(x_0))/(x - x_0) = cos(x_0)*1 = cos(x_0)

sin(x) er differentiabel med cos(x) som sin afledede funktion.

Svar #2
09. juni 2008 af Tipp-Ex (Slettet)

Mange tak, jeg sender dig en kage hvis jeg trækker trigonometriske funktioner imorgen ;D

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. juni 2008 af Jerslev (Slettet)

#2: Må jeg ikke også få kage? Jeg overvejede nemlig at svare. :P :D

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. juni 2008 af pa8n (Slettet)

Slettet

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. juni 2008 af pa8n (Slettet)

Slettet

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. juni 2008 af goathunter (Slettet)

Min matematiklærer ville kræve et bevis for at sin(x)/x går mod 1.. måske skal du også have det :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. juni 2008 af –Zeta– (Slettet)

lim[x->0] sin(x)/x = 1

Ifølge L'Hospital fås:
lim[x->0] sin(x)/x
= lim[x->0] ((d/dx)[sin(x)])/((d/dx)[x])
= lim[x->0] cos(x)/1
= lim[x->0] cos(x)
= cos(0)
= 1

Det forudsætter ganske vist at sin'(x) = cos(x). Det kan dog også vises ved brug af fx trigonometri.

Skriv et svar til: sin(x) differentiabel!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.