Generelt
Shurs' herminske spektraler
Jeg skal vise, at herminske matricer kan diagonaliseres unitært, således vi kun har reelle indgange. Altså at der findes U så V^-1 AU = U^H AH.
Jeg er ikke helt med på begreberne. Er der nogen som vil hjælpe mig med dem.
På forhånd tak !
Svar #1
11. juni 2008 af Euler (Slettet)
Lad V være en herminsk n-n matrix i C. A := A^H, hvor A^H er den konjugerede-transponerede matrix.
Shurs' lemma (andre kalder det sætning, nogen kalder det sublemma, fordi de er så kloge, at det ikke er et lemma for dem) siger, at U eksisterer således, at U^H * A * U er en øvretrekants-matrix, hvor A er en n-n matrix i C. Dette kan bevises ved induktion.
Spektralsætningen for herminske matricer er interessant.
Den siger, at der eksisterer en unitær n-n matrix i C således, at V^-1 * AU = U^H * AU er diagonaliserbar med reelle diagonal-indgange, som du skriver. Faktisk er alle indgange reelle, da a_ij = 0 for i=! j.
Fra Schurs' lemma.
Nej, jeg vil kalde det fra Shurs' sublemma :)
har vi, at der eksisterer en unitær n-n matrix i C : U^H AU =T, hvor T er en øvretrekants-matrix. Lad os se på T^H. Den giver den transponerede form, hvor alle indgange er kompleks konjugerede, right.
Men T^H = (U^H AU)^H = U^H A^H (U^H)^H = U^H A^H U = U^H A^H U = T, da A er herminsk. Jamen, nu har vi jo at T er herminsk, så t_ij = 0 for i=!j, og t_ij = t_ij konjugerede for i,j = {1,...,n} er hermed reelle iindgange.
Endelig spørg, hvis du ikke er med på noget.
Svar #2
11. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)
Jeg kan også se, at herminske matricer faktisk er multiplikativt komutative :)
Hvordan er forholdet mellem egenværdier og diagonaliserbare matricer. Jeg kan godt finde diagonalmatricen, men hvorfor kan man bare sige at to matricer A og B altid vil diagonalisere hinanden ??
Svar #3
11. juni 2008 af Euler (Slettet)
"Jeg kan også se, at herminske matricer faktisk er multiplikativt komutative :) " ?
En unitær matrix er logisk ækvavilent med (pr. teorem) U^H U = I. For en arbitrær matrix kan den være singulær (har ingen multiplikativ invers matrix) eller højre - venstre invers, man da den er kvadratisk vil den have en entydig invers: U^-1 = U^H : U^H U = U U^H = I, hvor de er multiplikativt kommutative.
Hvis du har en n-n matrix i et arbitrært legeme (F) vil følgende være ækvavilente:
I: Det eksisterer n lineært uafhængige egenvektorer for A <=> Der findes basis for F^n bestående af egenvektorer af A.
II: Der findes en n-n invertibel matrix v : v^-1 * Av er en diagonalmatrix.
Det er nemt at bevise !
I => II:
Lad {v1,...,vn} være lineært uafhængige egenvektorer for A og {p1,...,pn} være dens egenværdier.
v = [v1,...,vn] i søjleform:
Av = A[v1,...,vn] = [Av1,...,Avn] = [p1v1,...,pnvn]
= [v1,...,vn] * D = vD, hvor D er diagonalmatricen af egenværdierne associeret til egenvektorne for A.
Da v har uafhængige søjler er den invertibel: v^-1 Av = v^-1 v D = D.
II => I:
Antag at der findes en n-n matrix x, som er invertibel: x^-1 Ax = D.
x= [x1,...,xn] søjleform. Da x er invertibel er x1,...,xn uafhængige.
Ax = x(x^-1 Ax) = xD. Jamen, da er
[Ax1,...,Axn] = [p1x1,...,pnxn]
Axi = pi * xi for i = 1,...n og x1,...,xn er n uafhængige egenvektorer for A.
Svar #4
12. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)
Jeg sidder lige og fumler med det, og jeg spørger nok igen, men du behøves ikke at holde dig vågen for min skyld..
Tak for din hjælp !
Svar #5
12. juni 2008 af Sherwood (Slettet)
Svar #6
12. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)
Svar #8
12. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)
Svar #9
12. juni 2008 af Sherwood (Slettet)
Senest har jeg dog på gymnasiet stiftet bekendtskab med en del humaniora, som jeg synes er lige så spændende. Min matematiklærer har dog også inspireret mig en del, selv om opgaveregning i gymnasiet til tider er lidt for triviel. Så jeg overvejer lidt matematikstudiet i øjeblikket, da jeg kan høre på Euler, at matematik bliver af en helt anden kaliber på universitetet.
Ja, jeg har mange interesser, så jeg er lidt i vildrede, men det bliver nok i genren matematik/økonomi.
Svar #10
12. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)
Jeg synes, at det er ret sejt, at opkalde sig efter en stor matematiker som Euler. Du studerer også matematik på Aarhus Universitet, kan jeg se. Så er du sikkert også med i den der klub/sekt "Eulers Venner" :)
Svar #11
12. juni 2008 af Euler (Slettet)
Matematikken er delt op i to dele:
I: Der er den del, der er meget svært første gang, man ser det, men når man har arbejdet lidt med det, giver det mening.
II: Der er den del, der er meget svært første gang, man ser det, og det forbliver utroligt svært.
Nå ja, så er der jo også den trivielle matematik :)
#8 Egenrummet for A til egenværdi p_i er nulrummet til (A-p_i*I). Den geometriske multiplicitet af A til p_i giver dimensionen af egenrummet.
Den algebraiske multiplicitet af A til p_i er antallet af multipla af (p-p_i)
E_A (p_i) = N(A-p_i * I)
Geo_A (p_i) := dim{E_A (p_i)}
Alg_A (p_i) er antallet af gange (p-p_i) går op i p_A(p_i), som er det karakteristiske polynomium.
Svar #12
12. juni 2008 af Euler (Slettet)
I: Alg(p1) + ... + Alg(pk) = n
II: Alg(pi) = Geo(pi) , i = 1,...,k
Hvis I og II gælder er Geo(p1) + ... + Geo(pk) = n og det følger heraf.
Ant. A er diagonaliserbar.
p_A har grad n og højst n rødder. Da skal gælde
Alg(p1) + ... + Alg(pk) <= n
Alg(pi) >= Geo(pi) for i=1,...,k, jamen så er
n>= Alg(p1) + ... + Alg(pk) >= Geo(p1) + ... + Geo(pk) = n.
Heraf følger det, at Alg(pi) = Geo(pi).
Så pointen er, at du kan afgøre om en matrix er diagonaliserbar. Det er ret elegant. En unitær matrix A er diagonaliserbar hvis og kun hvis A er normal. (A er normal, når A^H A = A A^H)
Svar #16
15. juni 2008 af universitetsstuderende (Slettet)
Skriv et svar til: Shurs' herminske spektraler
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.