Leibniz, krumningsradius

(x'(t),y'(t)) er tangentvektoren så (-y'(t),x'(t) er en vektor der peger i normalens retning. En lignig for normalen gennem (x(t),y(t) er derfor

(X,Y) = (x(t),y(t) + u*( -y'(t),x'(t)

Jeg har kaldt koordinaterne på normalen for (X,Y) for at adskille dem fra punkter på kurven (x(t),y(t)). u er en parameter for ligningen

Skæringen mellem 2 normaler i punkterne givet ved parametrene t1 og t2 kan så findes ved at løse ligningssytemet

(X,Y) = (x(t1),y(t1) + u1*( -y'(t1),x'(t1) = (x(t2),y(t2) + u2*( -y'(t2),x'(t2)

hvor u1 og u2 er de ubekendte. Du behøver kun at finde den ene af dem for eks. u1

Længden af afstanden mellem P(t1) og skæringen er så |u1|*||(x'(t1,y'(t1)||. Hvis du bruger buelængden som parameter er ||(x'(t1,y'(t1)||=1

Derefter foretager du så grænseovergangen t2->t1. For at finde grænseoverganegen kan du forkorte i tæller og nævner i u1 med t2-t1.

Tak!

Jeg er kommet frem til, at u1=[(x₀-x)x'-(y₀-y)y'] / [x₀'·y'-y₀'·x'], med notationen x₀=x(t1), x=x(t2), x'=x'(t2) osv. set ift. din notation. Normen af normalvektoren (-y',x') er lig med s'. Altså indtil videre

|PR|=|(x₀-x)x'-(y₀-y)y'] / [x₀'·y'-y₀'·x'|·s'

før grænseovergangen t2->t1 har fundet sted. Leder dette mig frem til det rigtige resultat? Eller er jeg allerede kørt af sporet?

Kurver er polygoner med uendeligt mange sider

Forresten betragtede Leibniz en kurve i planen som en ∞-kantet polygon bestående af uendeligt små rette linjestykker, ds. Hvert af disse linjestykker kunne nu betragtes som hypotenuse i en infinitisimal trekant med kateter dx og dy.

Hver gang man havde to punkter på kurven, P=(x₀,y₀) og P'=(x,y), der lå uendeligt tæt på hinanden (men ikke var lig hinanden - Leibniz havde lidt problemer med denne terminologi, så det behøver ikke at give mening), kunne man så betragte den retvinklede trekant med kateter ds=x-x₀ og dy=y-y₀, hvor så hypotenusen måtte være ds=√(dx²+dy²).

Valg af progression/parametrisering

Problemet når man arbejder med uendeligt små størrelser, er især at det er svært at afgøre, hvor uendeligt små disse er i forhold til hinanden. Hvis kurven var bygget op af hypotenuser i uendeligt mange uendeligt små trekanter, hvor store var disse da ift. hinanden? Hvis man som #1 siger parametriserer ved buelængden, så er alle ds'erne lige store, hvorfor dds (differensen mellem to på hinanden følgende ds-værdier) bliver nul, alstå dds=0. Man kunne også betragte alle absisserne (de vandrette kateter, dvs. dx) som lige store - dermed ville ddx=0, og dette ville svare til, at man havde parametriseret kurven ved x, hvorfor kurven kunne beskrives med en funktion f:R->R givet ved f(x)=y.

Ligeledes kunne ordinaterne (dy'erne) betragtes som lige store. Nu stod valget altså mellem at se på ds som konstant, dx som konstant eller dy som konstant - eller endda noget helt tredje. Dette valg blev omtalt som valg af "progression". Altså hvordan gennemløbes kurvens opbygning...

Med nutidig terminologi er dette analogt til at tale om, hvorledes en kurve er parametriseret. Ovenstående formel er uafhængig af progression, og jeg vil derfor ikke lægge mig fast på, at kurven er parametriseret ved buelængde (svarende til at ds er konstant), som #1 foreslår.

Det skal siges, at Leibniz ikke havde funktionsbegrebet til sin rådighed - det var ikke opfundet dengang - så han kunne ikke betragte det som en parametriseret kurve. Denne tolkning er altså min egen oversættelse af datidens terminologi til noget nutidigt - jeg håber da, jeg tolker rigtigt!

#2 Jeg får det samme som dig.

#3 Jeg kender ikke Leibnitz udledning, så jeg kan ikke sige meget om den.

I moderne sprogbrug -men altså muligvis ikke i Leibnitz sprogbrug -  er det  forkert at kalde ds en konstant. Det er en variabel. Det samme gælder dx og dy.

#4 I moderne sprogbrug er det vel forkert at tale om ds i sig selv, da denne jo er infinitisimal og dermed praktisk talt lig nul. Men kvotienten ds/dt kan godt antages at være konstant med moderne sprogbrug - du foreslår at sætte den konstant lig 1, da kurven så reelt er parametriseret ved buelængde. Det er normalt en god strategi! Dette bevirker bl.a. at dds/dt²=0 eller anderledes sagt, at s''=0, hvilket bliver flittigt brugt i dag, da det gør udregninger af Frenets treben (ikke træben) lettere... Så vidt jeg husker :-)

Tusind tak indtil videre - det er rart at vide, at du får det samme! Jeg overvejer nu at forsøge mig med L'Hopitals regel for at finde grænseværdien af u1, altså grænsekvotienten lim_t2->t1 { [(x₀-x)x'-(y₀-y)y'] / [x₀'·y'-y₀'·x'] }. Så får jeg også nogle dobbelt afledte i spil. Jeg kan endnu ikke gennemskue, hvad resultatet bliver - det bliver jeg nødt til at regne på. Men tænk hvis det nu ender med at give det rigtige.

Du må gerne kommentere min strategi, hvis du f.eks. kan se, at det ikke fører nogen steder hen. Jeg er meget taknemlig for at du gider!

Jeg har ikke prøvet med L'Hopitals regel; men med at  dividere t-t0=dt i tæller og nævner og det virker

Tæller:   [(x₀-x)x'-(y₀-y)y'] /dt = x'(x₀-x)/dt -y'(y₀-y)/dt -> -x₀'x'- (-y₀'y' = -x'²-y'^{2 _idet} y'₀= y' i grænsen. Tilsvarende for x

Nævner: x₀'·y'-y₀'·x' = x₀'·y' - x'₀y'₀ + x'₀y'₀  - y₀'·x' = x₀'·( y' - y'₀) - y'₀(x' - x'₀)

Derefter deles med dt og grænseovergangen for dt -> 0 findes.

Det er ikke nødvendig at kræve t₂ > t₁

#6 Tusind tak - det er temmelig godt set! Jeg er nu fremme ved, at

r=| s'·[(y')²-(x')²] / [x'·y''-y'·x''] |

netop ved hjælp af dit forslag i #6. L'Hopital var nok aldrig kommet til at virke, da alle afledninger af (x₀-x) igen har grænseværdi 0, så din løsning var reelt vejen! Jeg kan stadig ikke se for mig, at det skulle være muligt at opnå den endelige formel! Jeg regner med, at man skal bruge omskrivningen (s')²=(x')²+(y')².

Du har en fortegnsfejl i tælleren.

r=| s'·[(y')²+(x')²] / [x'·y''-y'·x''] | =| s'³ / [x'·y''-y'·x''] | så du er færdig. Du kan eventuel prøve med en cirkel som kurve til kontrol.

<p>Du har en fortegnsfejl i t&aelig;lleren.</p> <p>r=| s'&middot;[(y')²+(x')²] / [x'&middot;y''-y'&middot;x''] | =| s'³ / [x'&middot;y''-y'&middot;x''] | s&aring; du er f&aelig;rdig. Du kan eventuel pr&oslash;ve med en cirkel som kurve til kontrol.</p> <p>&nbsp;</p>

#8 Jeg løb mine omskrivninger igennem og endte med at få rettet fortegnsfejl - fortegnsfejl er virkelig djævlen i matematikken! Det er lykkedes mig at opnå præcis det udtryk, du ender med. Dette forklarer umiddelbart, hvorfor min historiebog kommer med følgende to formler:

r=ds³/(dxddy), når dx er konstant

r=ds³/(dyddx), når dy er konstant

Ikke overraskende at der er total symmetri, da man bare kan substituere x og y med hinanden. De sidste to formler har jeg endnu ikke forstået, nemlig:

r=(dxds)/ddy, når ds er konstant

og så den, jeg oprindeligt var på jagt efter, nemlig

r=(dyds²)/(dsddx-dxdds), uanset valg af progression

Hvis ikke jeg allerede har gjort det klart, så har du været en uvurderlig hjælp!