Monotoniforhold for en sinusfunktion

Funktionen f(x) = sin(x) + x er voksende for alle x. Det ses bl.a. ved, at grafen for y' = f'(x) = cos(x) + 1 aldrig antager negative værdier. Ja, for hver pi*n (n E N) har y = f(x) en vandret tangent, men grafen for funktionen er aldrig aftagende.

Du ser at f'(x)≥0, hvorfor f er voksende alle steder, hvor den ikke har ekstremum. Det viser sig, at den har vendetangent på samtlige punkter i mængden {(2n+1)*pi, n tilhører de hele tal, Z}. Således er funktionen faktisk monotont voksende på hele R.

Den er faktisk strengt monotont voksende, idet x₂>x₁ ⇒ f(x₂)>f(x₁) for hele funktionen. Grafen er en smuk, harmonisk bølge, der krydser linjen y=x for alle x-værdier på formen x=n*pi, hvor n er et helt tal.

#1

Kan du ikke forklare mig, hvad x = (2*@n1 - 1)* pi betyder? (sådan helt nede på det jordnære sprog, så jeg også kan følge med)

#2.

Godt forklaret og mere nøjagtigt end #1.

tak #2 (og #1)

#3 Udtrykket x = (2*@n1 - 1)* pi betyder vist nogenlunde det samme som jeg skrev i #2, nemlig mængden af x'er på formen  x=(2n-1)*pi eller som jeg skriver x=(2n+1)*pi, hvilket betyder alle ulige tal ganget med pi. Jeg gætter på at tegnet @ betyder, at det er mængden af alle kombinationer på denne form. Du kan se, hvis du kigger på enhedscirklen, at et ulige antal gange pi rundt på cirklen svarer til punktet (-1,0). Husk på at 2*pi er en hel omgang på enhedscirklen. Derfor er cos(x)=-1, for x=(2n+1)*pi, hvorfor f'(x)=cos(x)+1=0 i disse punkter.

(2*@n1 - 1)* pi

skal opfattes som

(2n - 1)*π, n € Z

dvs. et ulige antal gange π, da 2n-1 er ulige uanset den heltallige n-værdi

det svært læselige π = "pi"